1、基本不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1下列不等式中，正确的是()Aa4 Ba2b24abC Dx22【解析】选D.a0，则a4不成立，故A错；a1，b1，a2b24ab，故B错，a4，b16，则0，所以f(x)4，当且仅当x8x，即x4时，等号成立故f(x)的最大值为4.3若f(x)x(x2)在xn处取得最小值，则n()A B3 C D4【解析】选B.由f(x)x(x2)24，当且仅当x20，即x3时，取得等号4若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】选A.当a0，b0时，ab2，则当ab
2、4时有2ab4，解得ab4，充分性成立当a1，b4时满足ab4，但此时ab54，必要性不成立，综上所述，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件5(2021玉溪高一检测)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A B2 C2 D4【解析】选C.由2，得ab2，当且仅当时取“”6已知x，y为正实数，且xy4，则x4y的最小值是()A4 B8 C16 D32【解析】选B.由题意，正实数x，y且xy4，可得y，则x4yx28，当且仅当x时，即x4时等号成立，所以x4y的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共10分)7设x0，则函数yx的最小值为_【解析】yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的
3、最小值为0.答案：08若a，b是正实数且ab1，则的最小值为_【解析】因为ab1，所以()(ab)32332，当且仅当，即a1，b2时，等号成立答案：32三、解答题(每小题10分，共20分)9设a，b，c都是正数，求证abc.【证明】因为a，b，c都是正数，所以，也都是正数，所以2c，2a，2b，三式相加得22(abc).即abc，当且仅当abc时取等号10(1)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(2)已知x0，y0，1，求xy的最小值【解析】(1)因为x0，y0，2x3y6，所以xy(2x3y)，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.(2)因为1，所以xy(xy)1910
4、，又因为x0，y0，所以1021016，当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4，y12时，xy取得最小值16.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知x0，y0，则“xy1”是“xy2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选A.若xy1，由基本不等式，知xy22；反之，取x3，y1，则满足xy2，但xy31，所以“xy1”是“xy2”的充分不必要条件2当x0时，函数f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2【解析】选B.因为x0，所以f(x)1.3.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方
5、数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A(a0，b0)Ba2b22(a0，b0)C(a0，b0)D(a0，b0)【解析】选D.由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，则FC2OC2OF2，再根据题图知FOFC，即，当且仅当ab时取等号4(多选题)规定：“”表示一种运算，即abab(a，b为正实数).若1k3，函数f(x)，1x4，则下列说法正确的是()Af(x)的最小值为3Bf(x)的最小值为2Cf(x)
6、的最大值为Df(x)的最大值为【解析】选AC.由题意得1k1k3，即k20，解得1或2(舍去)，故k的值为1.又f(x)1123，当且仅当，即x1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.由函数单调性知：f(x)1在x4时有最大值为.二、填空题(每小题5分，共20分)5函数y2x(x1)的最小值为_【解析】因为y2x(x1)，所以y2x2(x1)22222.当且仅当x1时取等号，故函数y2x(x1)的最小值为22.答案：226定义运算“”：xy(x，yR，xy0).当x0，y0时，xy(2y) x的最小值为_【解析】因为x0，y0，所以xy(2y) x，当且仅当，即xy时取等号故xy(2y) x的
7、最小值为.答案：7已知正数a，b满足2a2b23，则a的最大值为_【解析】aa(2a2b21)(31)，当且仅当a，且2a2b23，即a21，b21时，等号成立故a的最大值为.答案：8已知x，yR，且2xy4，则xy的最大值是_【解析】因为x，yR，由基本不等式可得42xy2，得xy2，当且仅当2xy，即x1，y2时，等号成立因此xy的最大值是2.答案：2三、解答题(共30分)9(10分)若正数a，b满足abab3，求：(1)ab的取值范围(2)ab的取值范围【解析】(1)因为abab323，令t0，所以t22t30所以(t3)(t1)0.所以t3即3，所以ab9，当且仅当ab3时取等号(2)
8、因为abab3，所以ab3.令tab0，所以t24t120，所以(t6)(t2)0.所以t6即ab6，当且仅当ab3时取等号10(10分)(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值(2)设0x2，求x的最小值【解析】(1)当x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时取等号所以函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)因为0x0，所以y4x(32x)22x(32x)2.当且仅当2x32x，即x时，等号成立因为.所以函数y4x(32x)的最大值为.(3)因为x2，所以x20，所以xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以x的最小值为6.11(10分)已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.【证明】(1)2，因为ab1，a0，b0，所以2224，所以8.(2)方法一：因为a0，b0，ab1，所以112，同理，12，所以52549.所以9(当且仅当ab时等号成立).方法二：1.由(1)知，8，故19，当且仅当ab时，等号成立