1、指数函数的图象和性质的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在R上单调递增,则a的值为()A.3B.2C.D.【解析】选B.由2a2-5a+3=1,解得a=2,a=,又函数在R上单调递增,则a=2,f(x)=2x.2.函数y=的单调递增区间是()A.(-,2 B.2,+)C.1,2D.1,3【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-,2.3.能满足不等式的a的取值范围为()A.B.(1,2)C.(0,4)D.【解析】选D.因为y=在R上是减函数且3-2a,即a.
2、结合选项知D符合.4.若2x+11,则x的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(0,1)(1,+)D.(-,-1)【解析】选D.不等式2x+11=20,因为y=2x在R上是增函数,所以x+10,即x0,可得f(x)1,则D错误.6.函数y=ax在0,1上的最大值与最小值的和为,则函数y=3a2x-1在0,1上的最大值为()A.16B.15C. 12D.【解析】选C.因为函数y=ax在定义域上是单调函数,且y=ax在0,1上的最大值与最小值的和为,所以1+a=,解得a=,所以函数y=3a2x-1=3=12,因为函数y=在定义域上为减函数,所以y=3a2x-1在0,1上的最大值为当x
3、=0时,函数值是12.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时f(x)=2x-3,则当x0时f(x)=.【解析】设x0,所以f(-x)=2-x-3,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-x-3,所以f(x)=3-2-x.答案:3-2-x8.若函数f(x)=则不等式f(x)的解集为.【解析】当x0时,由f(x),得,所以0x1.当x0,原方程可化为t2-6t+5=0,解得t=5或t=1,即5x=5或5x=1,所以x=1或x=0.10.已知f(x)=9x-23x+4,x-1,2.(1)设t=3x,x-1,2,求t的最大值与最小值
4、.(2)求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)设t=3x,x-1,2,函数t=3x在-1,2上是增函数,故有t9,故t的最大值为9,最小值为.(2)由f(x)=9x-23x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且t9,故当t=1时函数有最小值3,t=9时函数有最大值67.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知,则a,b的大小关系是()A.1ab0B.abD.1ba0【解析】选B.因为f(x)=是减函数且,所以ab.2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.由已知,得0
5、1-2a1,解得0a1对一切实数x成立,则能满足不等式的实数m的取值可以是()A.-1B.1C.0D.2【解析】选BD.4x+2x+1+m1等价于(2x)2+22x+12-m,即(2x+1)22-m.因为2x(0,+),所以2x+1(1,+),所以2-m1.解得m1.4.若方程+a=0有正数解,则实数a的取值范围是()A.(-3,0)B.(0,1)C.(0,3)D.(3,6)【解析】选A.令=t,因为方程有正根,所以t(0,1).方程转化为t2+2t+a=0,所以a=1-(t+1)2.因为t(0,1),所以a(-3,0).二、填空题(每小题5分,共20分)5.若-1x0,a=2-x,b=2x,
6、c=0.2x,则a,b,c的大小关系是.【解析】因为-1x0,所以由指数函数的图象和性质可得:2x1,0.2x1,又因为0.5x0.2x,所以bac.答案:ba0,且a1).若g(2)=a,则a=;f(2)=.【解析】因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,+,得g(x)=2,-,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f(2)=22-2-2=.答案:27.若0a1,函数y=ax在-1,1上的最大值与最小值的差是1,则底数a=.【解析】若0a1,则a-1-a=1,
7、即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).答案:8. 已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在1,+)上是增函数,则a的取值范围是.【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,当xa时函数为增函数,而已知f(x)在1,+)上为增函数,所以a1.答案:(-,1三、解答题(共30分)9.(10分)已知3x,求函数y=的值域.【解析】由3x,得3x3-2x+6,所以x-2x+6,解得x2.又因为y=在x(-,2上是减函数,所以y=,故y=的值域为.10.(10分)已知函数f(x)=-1.(1)作出f(x)的简图.(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m的取值范围.【解析】(
8、1)f(x)=如图所示:(2)作出直线y=3m,当-13m0,即-m0时函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解.11.(10分)已知函数f(x)=1-.(1)求函数f(x)的定义域,判断并证明f(x)的奇偶性.(2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数.(3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)0,3x+10,函数f(x)的定义域为R,f(x)=1-=,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)是定义在R上的奇函数.(2)任取x1,x2R且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-=-=,因为x1x2,所以-0.f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在其定义域上是增函数.(3)由f(3m+1)+f(2m-3)0得f(3m+1)-f(2m-3),因为函数f(x)为奇函数,所以-f(2m-3)=f(3-2m),所以f(3m+1)f(3-2m).由(2)已证得函数f(x)在R上是增函数,所以f(3m+1)f(3-2m)3m+13-2m,所以m.不等式f(3m+1)+f(2m-3)0的解集为.
