1、2021届云浮中学高三数学测试卷（2021.1.4）一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1已知集合A，B，则AB()A2,2 B(1，) C(1,2 D(，1(2，)2设i是虚数单位，若复数(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B3 C1 D13“a0，ax”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4函数f(x)的图象可能是()5已知函数f(x)3x2cos x，若af()，bf(2)，cf(log2 7)，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bcab Cbac Dbcb0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称
2、点为Q，设，直线AD与椭圆的另一个交点为B，若PAPB，则椭圆的离心率e() A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分9. 数列的前项和为，且，下列正确的是() A. 是等比数列 B. 当C. 当 D. 10已知(a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是()A展开式中奇数项的二项式系数和为256 B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项 D展开式中含x15项的系数为4511在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是()A直线BM与平面ADD1A1平行 B平
3、面BMD1截正方体所得的截面为三角形C异面直线AD1与A1C1所成的角为 D|MB|MD1|的最小值为12已知双曲线(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F12，则下列结论正确的是()A点P在双曲线的右支上 B点在双曲线的渐近线上C双曲线的离心率为 D双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有算数书九章算术周髀算经孙子算经等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学
4、著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有_种(请用数字作答)14已知若，则_15若sin()，tan 3tan ，则sin()_.16. 函数(15x10)的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.（1）已知_，计算的面积；请，这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求的最大值.18(12分)已知数列an满足(1)求数列an的通项公式；
5、(2)设数列的前n项和为Tn，证明：.19.(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADP90，平面ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；(2)当二面角D FC B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角20(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案，考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科
6、中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B、B、C、C、D、D、E共8个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91100、8190、7180、6170、5160、4150、3140、2130八个分数区间，得到考生的等级成绩举例说明：某同学化
7、学学科原始分为65分，该学科C等级的原始分分布区间为5869，则该同学化学学科的原始成绩属C等级而C等级的转换分区间为6170，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学学科的转换等级分为x，求得x66.73，四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,122)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B，其所在原始分分布区间为8293，求小明转换后的物理成绩；求物理原始分在区间(72,84)的人数(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4
8、人中等级成绩在区间61,80的人数，求X的分布列和数学期望附：若随机变量N(，2)，则P()0.682，P(22)0.954，P(33)0.997.21(12分)已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B.(1)证明：点B恒在椭圆C上(2)设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得PTQ恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由22(12分)已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若实数满足，求证：2021届云浮中学高三数学测试
9、卷答案（2021.1.4）1-4:CDAA, 5-8:DADC9ABC 10BCD 11ACD 12ABC1336 14 15 16717【详解】（1）若选，又，的面积若选，由可得，又，的面积 若选，又，可得，的面积（2），当时，有最大值118解析：(1)，当n1时，a14.当n2时，由，得an(n2)因为a14符合上式，所以an.(2)证明：.Tn. 0，Tn0)，则由题意知D(0,0,0)，F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，(0,2，a)，(，1,0)，设平面FBC的一个法向量为m(x，y，z)，则由得，令x1，则y，z，所以取m，显然可取平面DFC的一个法向量n(1,0
10、,0)，由题意：|cosm，n|，所以a.由于PD平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在RtPBD中，tanPBDa，从而PBD60，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60.20解析：(1)设小明转换后的物理等级分为x，求得x82.64，小明转换后的物理成绩为83分；因为物理考试原始分基本服从正态分布N(60,122)，所以P(7284)P(6084)P(6072)P(3684)P(4872)(0.9540.682)0.136.所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2 0000.136272(人)；(2)由题意得，随机抽取1
11、人，其等级成绩在区间61,80内的概率为，随机抽取4人，则XB，P(X0)4，P(X1)C3，P(X2)C22，P(X3)C31，P(X4)4.X的分布列为X01234P数学期望E(X)4.21解析：(1)证明：由题意知F2(1,0)，A(4,0)，设M(s，t)，N(s，t)，则1.直线MF2的方程为y(x1)，直线AN的方程为y(x4)，联立可得xB，yB，即B的坐标为.因为1，所以B点恒在椭圆C上(2)当直线n的斜率不存在时，不符合题意不妨设直线n的方程为ykxb，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得PTQ恒成立，则T一定在x轴上，故设T(x0,0)，由可得(4k23)x28kbx4b
12、2120.因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以64k2b24(4k23)(4b212)48(4k2b23)0，所以xP，yPkxPb.又因为Q(4,4kb)，PTQ，所以(4x0,4kb)0，即(x04)0.所以x4x03(4x04)0对于任意的满足4k2b230的k，b恒成立，所以解得x01.故在平面内存在定点T(1,0)，使得PTQ恒成立22.（1），由在上单调递增，故当时，恒成立，即恒成立.设，因为，所以，所以，即.故在上单调递增，故，故；（2）当时，故在上单调递增，又因为，且，故.要证，只需证，因为在上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证.令，令，则，所以在上单调递增，所以，故在上单调递减，故，故原不等式成立.