1、午间半小时(十九)(30分钟50分)一、单选题1若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A B84 C1 D【解析】选A.由(ab)2c24，得a2b2c22ab4，由余弦定理得a2b2c22ab cos C2ab cos 60ab，则ab2ab4，所以ab.2已知ABC的三边a，b，c满足，则B为()A30 B45 C60 D120【解析】选C.由可得，b2a2c2ac，即有cos B，又0B1，ACAB，则当AC最短时，BC等于()A1 B2 C D42【解析】选A.设BCa，ACb，ABc，则a1，cb，在ABC中，由余弦定理可得a2b2
2、2ab，即a2bab，所以b(a1)2222，当且仅当(a1)2即a1时取等号，故当AC最短时，BC等于1.4在ABC中，已知abc cos Bc cos A，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰或直角三角形【解析】选D.由余弦定理得：cos A，cos B，代入abc cos Bc cos A中，得ab，整理得：ab(ab)c2(ab)(ab)(a2abb2)0，即(ab)(c2a2b2)0，可得ab或a2b2c2，则三角形为等腰三角形或直角三角形5在ABC中，AB4，AC3，BC5，则A的角平分线AD的长为()A3 B2 C D【解析】选C.因为AB4，AC3
3、，BC5，所以AB2AC2BC2，所以BAC90，由已知得cos B，因为AD是A的角平分线，所以，即，所以，BD，在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBD cos B1624，所以AD.6黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：.若CDE是顶角为36的等腰三角形，则cos 216()A B C D【解析】选A.由题意得，在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知BCCE.因为，所以，故不妨设CE2，CD1，则在CDE中，cos 36，从
4、而cos 216cos cos 36.二、多选题7若ABC的三个内角满足abc51113，则ABC不可能为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形【解析】选ABD.由abc51113，设a5t(t0)，则b11t，c13t，则角C为最大角，由余弦定理得cos C0，则角C为钝角，因此，ABC为钝角三角形，又三边各不相等，故不可能是等腰三角形8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，c2，cos A，则b可能的取值为()A2 B3 C4 D2【解析】选AC.由余弦定理，得a2b2c22bc cos A，所以4b2126b，即b26b80，所以b2或b4.三、填空题
5、9ABC中，设BCa，ABc，ABC为锐角且满足lg alg clgsinBlg ，则ABC的形状是_.【解析】由lg alg clgsinBlg 得，lg lgsinBlg ()1，所以sin B，又ABC为锐角，则B，ca，由余弦定理得cos B，得ab，所以BA，C，则ABC的形状是等腰直角三角形答案：等腰直角三角形10在ABC中，点M是边BC的中点，AM，BC2，则2ACAB的最大值为_.【解析】记AMC，则AMB，在AMC中，AC2AM2MC22AMMC cos 312cos 42cos ，同理在AMB中可得AB242cos ，所以AB2AC28，设AB2cos x，AC2sin x，x，则2ACAB4sin x2cos x2(2sin xcos x)22sin (x)，其中cos ，sin ，是锐角，显然存在x0，使得sin (x0)1，所以2ACAB的最大值为2.答案：2
