1、中山市高三年级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号填写在答题卡上.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回，试卷不用上交.
2、第卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后对应的数据如下：1617181950344131由上表可得线性回归方程，则（ ）A. -4B. C. 109D. 4. 下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度（）的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐
3、标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间（单位：），点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值（）.记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记为服用第种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则，中最小的，中最大的分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知椭圆：的离心率与双曲线：的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 6. 为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批件产品的正品率为，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为（ ）A
4、. 0.998816B. 0.9996C. 0.057624D. 0.0011847. 已知函数，则下列能正确表示函数（粗线）及导函数（细线）图象的是（ ）A. B. C. D. 8. “大摆锤”是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常“大摆锤”以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，.设，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A. 点在某个定球面上运动；B. 与水平地面所成
5、锐角记为，直线与水平地面所成角记为，则为定值；C. 可能在某个时刻，；D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 经过点的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数D. 函数的图象关于直线对称11. 若随机变量，其中，下列等式成立有（ ）A. B. C. D. 1
6、2. 由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（ ）A. 平面B. 平面平面C. 平面平面D. 第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 二项式的展开式中的常数项为_.14. 已知，若，则的取值范围是_.15. 如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量，满足，则_.16. 数列满足：，_；若有一个形如的通项公式，则此通项公式可以为_.（写出一个即可）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程
7、或演算步骤.17. 在锐角中，设角，所对的边长分别为，且.（1）求的大小；（2）若，点在边上，_，求的长.请在；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答（如选多个条件作答，按排列最前的解法评分）.18. 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注.因此，2019年6月25日
8、，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.莱市环卫局在、两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号123456小区（分钟）220180210220200230小区（分钟）200190240230220210（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：小区方案：号召住户生活垃圾分类
9、“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于4位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？21.
10、 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22. 已知函数，.（1）求在区间上的极值点；（2）证明：恰有3个零点.中山市20202021学年度高三级第一学期期末统一考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1-5：ADDBD6-8：AAC二、选择
11、题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. AC 10. ACD 11. AC 12. ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 .15 14. 15. 16. 2 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）在中，由正弦定理及，得.因为为锐角三角形，所以，所以.所以.又因为，所以.（2）若选.在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即.又，所以.所以，所以.若选.在中，即，即，解得.若选.在中，
12、由余弦定理，得，所以.因为，又，所以，解得.18. 解：（1）设构成递增的等比数列的这个数为，其中，则，且.因为，所以，即，所以.（2），-得，所以.19. 证明：（1）因为四边形为菱形，为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）如图所示建立坐标系，易得，作垂直于面与，则，得，由题得，设平面的一个法向量为，所以，不妨令，则，又，则直线与平面所成角的正弦值.所以直线与平面所成角的正弦值为.20. 解：（1）（分钟），（分钟），；（2）按照方案，小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），由（
13、1）知，小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.21.
14、 解：（1）由题意知，椭圆的方程为.（2）设，依材料可知，切线的方程为，过原点且与平行的直线的方程为，椭圆的右焦点，所以直线的方程为，联立，所以，所以为定值.22. 解：（1），令，得，或.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故是的极大值点，是的极小值点.综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为.（2），因为，所以是的一个零点.，所以为偶函数.即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可.当时，.令，即，或.时，单调递减，又，所以；时，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点.当时，由于，.而在区间内单调递增，所以恒成立，故在区间内无零点，所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，所以在区间内有一个零点，而，综上，有且仅有三个零点.