1、2016-2017学年广东省阳江市阳春一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A（2，4）B（2，4）C（4，2）D（4，2）2（ex+2x）dx等于（）A1Be1CeDe+13数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n1时，Sn=（）ABCD147个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（）A120B240C420D8405要排一张有7个歌唱节目和3个
2、舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，则有多少种不同的排法（）ABCD6若随机变量X服从标准正态分布，即XN（0，1）且P（X1.96）=0.025，则P（X1.96）=（）A0.025B0.075C0.05D0.9757随机变量服从二项分布B（n，p），且E=300，D=200，则p等于（）AB0C1D8在（1x3）（1+x）10的展开式中，x4的系数是（）A10B200C210D2209在5件产品中，有3件一等品，2件二等品从中任取2件那么以为概率的事件是（）A都不是一等品B至少有一件二等品C恰有一件一等品D至少有一件一等品10有5本不同的书分给三个同学，每个同学至少分一本，有多
3、少种不同的分法（）A90B124C240D15011甲乙对弈，每局甲赢概率为，乙赢概率为，三局两胜制，则甲获胜概率为（）ABCD12甲乙比赛，先胜三局可赢得奖金1千元当甲胜两局乙胜一局时因故终止比赛假设每局胜率甲乙都是0.5，现在奖金应该按怎样的比例分配给甲乙（）A1：1B2：1C3：1D4：1二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13若E（X）=4，D（X）=2，则E（2X1）+D（2X1）= 14有3台设备，每台正常工作的概率均为0.9，则至少有2台能正常工作的概率为 （用小数作答）15已知（ax）5的展开式中含x的项的系数是90，则a= 16从1，2，3，10中，甲乙两人各
4、取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为 三、解答题：（本大题6个小题，第17题10分，其它每题12分，共70分）17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C（）求cosB的值；（）设函数f（x）=sin（2x+B），求的值18设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，a2，并求数列an的通项公式；（）求数列nan的前n项和19某射击运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为（1）求该运动员两次都命中7环的概
5、率（2）求的分布列及数学期望E（）20在四棱锥PABCD中，ABC，ACD都为等腰直角三角形，ABC=ACD=90，PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点（）求证：BE平面PAD；（）求二面角CPAD的余弦值212015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，：（）小明向班级同学发出倡议，为该小
6、区居民捐款现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：K2=，n=a+b+c+d22已知三次函数
7、f（x）的导函数f（x）=3x2+3且f（0）=1，（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）2016-2017学年广东省阳江市阳春一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A（2，4）B（2，4）C（4，2）D（4，2）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i，从而求得z对应的点的坐标【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=42i，故在复平面
8、内，z对应的点的坐标是（4，2），故选C2（ex+2x）dx等于（）A1Be1CeDe+1【考点】67：定积分【分析】由（ex+x2）=ex+2x，可得=，即可得出【解答】解：（ex+x2）=ex+2x，=（e+1）（1+0）=e，故选：C3数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n1时，Sn=（）ABCD1【考点】F1：归纳推理；8E：数列的求和【分析】利用等差数列求出Sn，Sn+1的关系，然后求出S2，S3，的值，化简表达式的分子与分母，然后猜想结果【解答】解：由题意可知2Sn+1=2S1+Sn当n=1时，S2=，n=2时
9、，2S3=2S1+S2=，S3=S1，S2，S3，为：1=、=、=猜想当n1时，Sn=故选B47个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（）A120B240C420D840【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，用间接法（倍分法）分析：先计算7人排成一列的排法数目，由于ABC三人顺序一定，则不同的列队方式有种，计算即可得答案【解答】解：根据题意，先将7人排成一列，有A77种排法，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，即ABC三人顺序一定，则不同的列队方式有=840种；故选：D5要排一张有7个歌唱节目和3个舞蹈节目的演
10、出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，则有多少种不同的排法（）ABCD【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2步进行分析：、将7个歌唱节目全排列，分析排好后的空位，、在空位中任选3个，安排3个舞蹈节目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：、将7个歌唱节目全排列，有A77种情况，排好后有8个空位，、在8个空位中任选3个，安排3个舞蹈节目，有A83种情况，则任何两个舞蹈节目不得相邻的情况有A77A83种情况，故选：A6若随机变量X服从标准正态分布，即XN（0，1）且P（X1.96）=0.025，则P（X1.96）=（）A0.025B0.075C0.05D0
11、.975【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】利用对称性求出P（X1.96），再根据概率和为1得出P（X1.96）【解答】解：XN（0，1）P（X1.96）=P（X1.96）=0.025，P（X1.96）=1P（X1.96）=0.975故选D7随机变量服从二项分布B（n，p），且E=300，D=200，则p等于（）AB0C1D【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p【解答】解：服从二项分布B（n，p）E=300，D=200E=
12、300=np，；D=200=np（1p），可得1p=，p=1故选D8在（1x3）（1+x）10的展开式中，x4的系数是（）A10B200C210D220【考点】DB：二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开即可得出【解答】解：（1x3）（1+x）10=（1x3）（1+10x+）x4的系数=10=200故选：B9在5件产品中，有3件一等品，2件二等品从中任取2件那么以为概率的事件是（）A都不是一等品B至少有一件二等品C恰有一件一等品D至少有一件一等品【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】从5件产品中任取2件，有C52种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有
13、C31C21种结果，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，至少有一件二等品有C31C21+1种结果，做比值得到概率【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，共有C52=10种结果，“任取的2件产品都不是一等品”只有1种情况，其概率是；“任取的2件产品中至少有一件二等品”有C31C21+1种情况，其概率是；“任取的2件产品中恰有一件一等品”有C31C21种情况，其概率是；“任取的2件产品在至少有一件一等品”有C31C21+C32种情况，其概率是；以为概率的事件是“至少有一件二等品”故答案为 B10有5本不同的书分给三个同学，每个同学至少分一本，
14、有多少种不同的分法（）A90B124C240D150【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析有将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案【解答】解：根据题意，将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种情况，分成1、1、3时，有A33=60种分法，分成2、2、1时，有A33=90种分法，所以共有60+90=150种方案，故选：D11甲乙对弈，每局甲赢概率为，乙赢概率为，三局两胜制，则甲获胜概率为（）ABCD【考点】C5：互斥事件的概率加法公式【分析】甲获胜是指甲连胜两
15、局或甲在前两局中一胜一平，第三局甲胜，由此能求出结果【解答】解：甲乙对弈，每局甲赢概率为，乙赢概率为，三局两胜制，则甲获胜概率为：p=故选：A12甲乙比赛，先胜三局可赢得奖金1千元当甲胜两局乙胜一局时因故终止比赛假设每局胜率甲乙都是0.5，现在奖金应该按怎样的比例分配给甲乙（）A1：1B2：1C3：1D4：1【考点】C2：概率的意义【分析】继续比赛，甲胜的概率为：p=0.5+0.50.5=0.75，从而得到现在奖金应该按0.75：0.25=3：1的比例分配给甲乙【解答】解：甲乙比赛，先胜三局可赢得奖金1千元当甲胜两局乙胜一局时因故终止比赛假设每局胜率甲乙都是0.5，继续比赛，甲胜的概率为：p=
16、0.5+0.50.5=0.75，现在奖金应该按0.75：0.25=3：1的比例分配给甲乙故选：C二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13若E（X）=4，D（X）=2，则E（2X1）+D（2X1）=15【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】根据数学期望和方差的性质计算【解答】解：E（2X1）=2E（X）1=7，D（2X1）=4D（x）=8，E（2X1）+D（2X1）=7+8=15故答案为：1514有3台设备，每台正常工作的概率均为0.9，则至少有2台能正常工作的概率为0.972（用小数作答）【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式【分析】利
17、用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出至少有2台能正常工作的概率【解答】解：有3台设备，每台正常工作的概率均为0.9，至少有2台能正常工作的概率为：p=0.972故答案为：0.97215已知（ax）5的展开式中含x的项的系数是90，则a=3或3【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据二项式的展开式通项公式，求出展开式中含x的系数，列出方程求出a的值【解答】解（ax）5的展开式中，通项公式为Tr+1=C5r5r（ax）r=（a）rC5rx，令=，解得r=2，得含x的项的系数a2C52=90，解得a=3或3，故答案为：3或316从1，2，3，10中，甲乙两人各取一数（不重复）
18、，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=29=18，再利用列举法求出甲数大于乙数包含的基本事件（a，b）的个数，由此能求出甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率【解答】解：从1，2，3，10中，甲乙两人各取一数（不重复），甲取到的数是5的倍数，甲取到5或10，基本事件总数n=29=18，甲数大于乙数包含的基本事件（a，b）有：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共13个，甲取到
19、的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为p=故答案为：三、解答题：（本大题6个小题，第17题10分，其它每题12分，共70分）17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C（）求cosB的值；（）设函数f（x）=sin（2x+B），求的值【考点】HR：余弦定理【分析】（）由等角对等边得到c=b，再由a=b，利用余弦定理即可求出cosB的值；（）由cosB的值，求出sinB的值，将x=代入f（x）计算即可求出f（）的值【解答】解：（）B=C，c=b，又a=b，cosB=；（）由（）得sinB=，f（）=sin（+B）=sincosB+cossinB=+=18设Sn为数列an的前n项
20、和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，a2，并求数列an的通项公式；（）求数列nan的前n项和【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8E：数列的求和【分析】（）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n2时再令n=n1得到2an11=Sn1，两个式子相减得an=2an1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（）由（）求出nan=n2n1，再由错位相减法求出此数列的前n项和【解答】解：（）令n=1，得2a1a1=，即，a10，a1=1，令n=2，得2a21=1（1+a2），解得a2=2，当n2时，由2an1=Sn得，2an11=Sn1，两式相减得2an2an1=a
21、n，即an=2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n1，即数列an的通项公式an=2n1；（）由（）知，nan=n2n1，设数列nan的前n项和为Tn，则Tn=1+22+322+n2n1，2Tn=12+222+323+n2n，得，Tn=1+2+22+2n1n2n=2n1n2n，Tn=1+（n1）2n19某射击运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为（1）求该运动员两次都命中7环的概率（2）求的分布列及数学期望E（）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概
22、型及其概率计算公式【分析】（1）根据相互独立事件概率公式计算；（2）根据相互独立事件概率公式求出的分布列，再计算E（）【解答】解：（1）设“该运动员两次都命中7环”为事件A，则P（A）=0.20.2=0.04（2）可取7、8、9、10，则P（=7）=0.04，P（=8）=20.20.3+0.32=0.21，P（=9）=0.50.32+0.32=0.39，P（=10）=0.20.82+0.22=0.36，故的分布列为78910P0.040.210.390.36E（）=70.04+80.21+90.39+100.36=9.0720在四棱锥PABCD中，ABC，ACD都为等腰直角三角形，ABC=AC
23、D=90，PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点（）求证：BE平面PAD；（）求二面角CPAD的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）证明BEBC，利用BCAD，可得BEAD，结合BEPA，证明BE平面PAD；（）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、PAD的一个法向量，即可求二面角CPAD的余弦值【解答】（）证明：ABC与ACD都是等腰直角三角形，ABC=ACD=90，ACB=DAC=45，BCAD，E为PA的中点，且，BEPA，在PBC中，PC2=PB2+BC2，BCPB又BCAB，且PBAB=B，BC平面PAB，BE平面PAB，BEB
24、C，又BCAD，BEAD，又PAAD=A，BE平面PAD；（）解：由（）可以BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，B（0，0，0），则，设平面PAC的一个法向量为，则取又由（）知BE平面PAD，故为平面PAD的一个法向量，故二面角CPAD的余弦值212015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台
25、风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，：（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357
26、.87910.828附：临界值表参考公式：K2=，n=a+b+c+d【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）由频率直方图得到，损失不少于6000元的以及损失为60008000元的居民数，再由古典概型结合排列组合便可得出两户在同一分组的概率；（）由频率直方图计算数据补全表格后，代入临界值公式算出K2，与表格数据相对比，便可得到结论【解答】解：（）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）200050=6户，损失为60008000元的居民共有0.00003200050=3户，损失不少于8
27、000元的居民共有0.00003200050=3户，3分因此，这两户在同一分组的概率为P=，两户在同一分组的概率； 6分（）如表：经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30939捐款不超过500元5611合计3515507分K2=4.0463.841，8分 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否项500元有关12分22已知三次函数f（x）的导函数f（x）=3x2+3且f（0）=1，（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单
28、调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）法一：问题转化为xx2lnx+1（x0），即x2lnx+1x0（x0）令h（x）=x2lnx+1x（x0），根据函数的单调性证明即可；法二：由a1知，令，求出h（x）的最小值，从而证明结论即可；法三：同法二，求h（x）的最小值时可以二次求导【解答】解：（ 1）依题意得f（x）=x3+3x1，f（x）=3x2+3=3（x+1）（x1）知f（x）在（，1）和（1，+）上是减函数，在（1，1）上是增函数f（x）极小值=f（1）=3，f（x）极大值=f（1）=1（2）法1：易得x0时，f（x）最大
29、值=1，依题意知，只要由a1知，只要xx2lnx+1（x0）x2lnx+1x0（x0）令h（x）=x2lnx+1x（x0），则h（x）=2xlnx+x1注意到h（1）=0，当x1时，h（x）0；当0x1时，h（x）0，即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，h（x）最小值=h（1）=0即h（x）0，综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）法2：易得x0时，f（x）最大值=1，由a1知，令则注意到h（1）=0，当x1时，h（x）0；当0x1时，h（x）0，即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，h（x）最小值=h（1）=1，所以h（x）最小值=1，即g（x）最小值=1综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）法3：易得x0时，f（x）最大值=1，由a1知，令，则令，则，知（x）在（0，+）递增，注意到（1）=0，所以，h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，有h（x）最小值=1，即g（x）最小值=1综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）2017年7月13日