1、午间半小时(三十九)(30分钟50分)一、单选题1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A22 B20 C10 D11【解析】选A.所求长方体的表面积S2(12)2(13)2(23)22.2圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A(1) B4 C3 D5【解析】选C.如图，因为圆锥的轴截面是边长为2的正ABC，所以圆锥的底面半径r1，母线长l2；表面积Sr22rl23.3轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的()A B C D【解析】选C.设底面半径为r，则等边圆锥的母线长为l2r，S底r2，S侧rlr2r2r2，所
2、以.4某圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则该圆台的表面积为()A81 B100 C168 D169【解析】选C.该圆台的轴截面如图所示设圆台的上底面半径为r，则下底面半径r4r，高h4r，则它的母线长l5r10，所以r2，r8.所以S侧(rr)l(82)10100，S表S侧r2(r)2100464168.5若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A4(rR)2 B4r2R2C4rR D(Rr)2【解析】选C.方法一：如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S
3、球4r4Rr.方法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.6半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16，则该二十四等边体的表面积为()A124 B186C
4、248 D3612【解析】选C.由于二十四等边体的外接球表面积为16，设其半径为r，则4r216，解得r2.设O为球心，依题意可知四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，由于OAOBOCOD2，所以四边形ABCD是正方形，AB2.所以二十四等边体的边长为2.所以二十四等边体的表面积为22622sin 8248.二、多选题7一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A圆柱的侧面积为2R2 B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球面面积相等 D圆锥的表面积最小【解析】选CD.由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.则圆柱的侧面
5、积为2R2R4R2，故A错误；圆锥的侧面积为2RRR2，故B错误；球的表面积为4R2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；圆锥的表面积为S侧S底R2R2(1)R2，圆柱的表面积为S侧2S底4R22R26R2，球的表面积为4R2，所以圆锥的表面积最小，故D正确8已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面均为正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC12，则下述正确的是()A该四棱台的高为 BAA1CC1C该四棱台的表面积为26 D该四棱台外接球的表面积为16【解析】选AD.由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于AB2，A1B1，可知SA1B1与SAB相似比为12；则SA2AA14，AO
6、2，则SO2，则OO1，该四棱台的高为，A对；因为SASCAC4，则AA1与CC1夹角为60，不垂直，B错；该四棱台的表面积为SS上底S下底S侧284106，C错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1，B1O11，则OB12OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则rOB2，该四棱台外接球的表面积为16，D对三、填空题9正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，因为正四棱锥PABCD中AB2，所以AO.因为PO4，所以在RtAOO中AO2AO2OO2，所以R2()2(4R)2，解得R，所以该球的表面积为4R24.答案：