1、课后素养落实(五十五)三角函数的应用 (建议用时:40分钟)一、选择题1如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s6sin,那么单摆摆动一个周期所需的时间为()A2 sB sC0.5 sD1 sD依题意是求函数s6sin的周期,T1,故选D.2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一节那天某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0),则在下列时间段内人流量增加的是()A0,5B5,10C10,15D15,20C由2k2k,kZ,知函数F(t)的增区间为4k,4k,kZ.当k1时,t3,5,而10,153,5,故选C.3在两个弹簧上
2、各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s15sin,s210cos 2t确定,则当t s时,s1与s2的大小关系是()As1s2Bs1s2Cs1s2D不能确定C当t时,s15sin5sin5,当t时,s210cos105,故s1s2.4下表是某市近30年来月平均气温()的数据统计表:月份123456789101112平均温度5.93.32.29.315.120.322.822.218.211.94.32.4则适合这组数据的函数模型是()AyacosByacosk(a0,k0)Cyacosk(a0,k0)Dyaco
3、s3C当x1时图象处于最低点,且易知a0.故选C.5电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示,则当t秒时,电流强度是()A5安B5安C5安D10安A由图象知A10,所以100.所以I10sin(100t)因为为五点作图法中的第二个点,所以100.所以.所以I10sin,当t秒时,I5安二、填空题6某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ,12月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的月平均气温值为_.20.5由题意可知A5,a23.从而y5cos23.故10月份的
4、月平均气温值为y5cos2320.5.7如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是_y2sin由题图可设yAsin(t),则A2,又T2(0.50.1)0.8,所以,所以y2sin,将点(0.1,2)代入y2sin中,得sin1,所以2k,kZ,即2k,kZ,令k0,得,所以y2sin.8一种波的波形为函数ysinx的图象,若其在区间0,t上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是_7函数ysinx的周期T4,且x3时y1取得最大值,因此t7.所以正整数t的最小值是7.三、解答题9已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似
5、满足函数y10sin20,x4,16(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差;(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间?解(1)由函数易知,当x14时函数取最大值,即最高温度为30 ;当x6时函数取最小值,即最低温度为10 .所以,最大温差为30 10 20 .(2)令10sin2015,可得sin.而x4,16,所以x.令10sin2025,可得sin,而x4,16,所以x.故该细菌的存活时间为小时10某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表:t
6、(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作出这些数据的散点图;(2)从yaxb,yAsin(t)b和yAtan(t)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间解(1)散点图如图所示(2)由(1)知选择yAsin(t)b较合适令A0,0,|0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:x123y10 0009 500?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A10 000元B9 500元C9 000元D8 500元C因为y500sin(x)9
7、 500(0),所以当x1时,500sin()9 50010 000;当x2时,500sin(2)9 5009 500,所以可取,可取,即y500sin9 500.当x3时,y9 000.2.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数df(l)的图象大致是() A BCDC令AP所对圆心角为,由|OA|1,得l,sin,d2sin2sin,即df(l)2sin(0l2),它的图象为C.3国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:PAsint60(美元)(t(天),A0,0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t1
8、50(天)时达到最低油价,则的最小值为_因为Asin6080,sin1,所以A20,当t150(天)时达到最低油价,即sin1,此时1502k,kZ,因为0,所以当k1时,取最小值,所以150,解得.4已知角的终边经过点P(1,1),点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)sin(x)(0)图象上的任意两点,若|f(x1)f(x2)|2时,|x1x2|的最小值为,则f _.由条件|f(x1)f(x2)|2时,|x1x2|的最小值为,结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为,则由T,得3.又因为角的终边经过点P(1,1),所以不妨取,则f(x)sin3x,于是f sin.在某个以旅
9、游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)100Acos(n2)k来刻画,其中A和k是正整数,0,正整数n表示月份且n1,12,nN,例如n1时表示1月份经统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增,直到8月份达到最多(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式;(2)一般地,如果当该
10、地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由解(1)根据规律可知,该函数为周期函数,且周期为12,所以T12,得.由规律可知,f(n)maxf(8)100A100k,f(n)minf(2)100A100k,f(8)f(2)200A400,得A2.根据规律可知,当n2时,f(2)200cos100k100,得k2.99,因为k是正整数,故取k3.综上可得,f(n)200cos300(n1,12,且nN)(2)令200cos300400,可得cos,则2kn22k,kZ,即12k2n12k2,kZ.所以当k1时,6.18n10.18,因为n1,12,nN,所以n7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.