1、1椭_圆11椭圆及其标准方程 椭圆的定义设计游戏时，要考虑游戏的公平性某电视台少儿节目欲设计如下游戏规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜考验选手的反应能力与速度问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义椭圆上的点到两焦点距离之和为定值问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等
2、于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆焦点两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距集合语言PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，2)问题1：若动点P满足|PA|PB|6，则P点的轨迹方程是什么？提示：1.问题2：若动点P满足|PC|PD|6，则动点P的轨迹方程是什么？提示：1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c的关系a2b2c21平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a|F
3、1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2；当2ab0)，依题意，有解得a24，b21.若焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，同理这与ab矛盾故所求椭圆方程为y21.法二：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将A，B坐标代入得解得故所求椭圆方程为y21.椭圆的定义及应用例2如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积思路点拨因为PF1F2120，|F1F2|2c，所以要求SPF1F2，只要求|PF1|即可可由椭圆的定义|PF1|PF2|2a，并结合余弦定理求解精解详析由已知
4、a2，b，所以c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入解得|PF1|，SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202.因此所求PF1F2的面积是.一点通椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用S|PF1|PF2|sinF1PF
5、2求面积，这时可把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|24a22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量4平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆那么()Ap是q的充分不必要条件Bp是q的必要不充分条件Cp是q的充要条件Dp既不是q的充分条件，又不是q的必要条件解析：若|MA|MB|为定值，只有定值|AB|时，点M轨迹才是椭圆故p为q的必要不充分条件答案：B5已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若|AF2|BF2|1
6、2，则|AB|_.解析：由题意，知(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|2a2a，又由a5，可得|AB|(|AF2|BF2|)20，即|AB|8.答案：86点P在椭圆y21上，且PF1PF2，求SPF1F2.解：点P在椭圆上，|PF1|PF2|4，即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|212，|PF1|PF2|2，SPF1F2|PF1|PF2|1.与椭圆有关的轨迹问题例3已知圆B：(x1)2y216及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程思路点拨P为AC
7、垂直平分线上的点，则|PA|PC|，而BC为圆的半径，从而4|PA|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆精解详析如图所示，连接AP，l垂直平分AC，|AP|CP|.|PB|PA|BP|PC|4，P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.点P的轨迹方程为1.一点通求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程7ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，6)
8、，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得，化简整理，得1，又A，B，C是ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y6，所以顶点A的轨迹方程为1(y6)8已知动圆M过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|MC|得|MA|MB|MC|MB|BC|8，即动圆圆心M到两定点A(3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a8,2c6，b，M的轨迹方程是1.1用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点
9、的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2By21(A0，B0，AB)求解2解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上3涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|PF2|2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法 1椭圆25x216y21的焦点坐标是()A(3,0)B(，0)C(，0) D(0，)解析：椭圆的标准方程为1，故焦点在y轴上，其中a2，b2，所以c2a2 b2，故c.所以该椭圆的焦点坐标为(0，)，故选D.答案：D2若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A5 B6
10、C4 D1解析：由椭圆的定义知a5，点P到两个焦点的距离之和为2a10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为1055，故选A.答案：A3已知椭圆的焦点F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：F1(1,0)，F2(1,0)，|F1F2|2，又|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，|PF1|PF2|2|F1F2|4，即2a4.又c1，b23.椭圆的标准方程为1.答案：C4两个焦点的坐标分别为(2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是()A.1
11、 B.1C.1 D.1解析：由椭圆定义知：2a2.a.b.答案：A5椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k_.解析：椭圆方程可化为：x21，则a2，b21，又c2，14，k1.答案：16设P是椭圆1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|PF2|8，则|OP|_.解析：由题意，|PF1|PF2|6，两边平方得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|236.因为|PF1|PF2|8，所以|PF1|2|PF2|220.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2
12、(2c)22(|PF1|2|PF2|2)所以4|OP|2(22)2220，所以|OP|.答案：7求以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程解：法一：方程9x25y245可化为1.则焦点是F1(0,2)，F2(0，2)设椭圆方程为1(ab0)，M在椭圆上，2a|MF1|MF2|(2)(2)4，a2，即a212.b2a2c21248.椭圆的标准方程为1.法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，2)，则设所求椭圆方程为1(0)，将x2，y代入，得1，解得8，2(舍去)所求椭圆方程为1.8点P为椭圆y21上一点，且F1PF260，求F1PF2的面积解：由题意知，a2
13、，b1，c，|PF1|PF2|4.在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即12|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.2得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16.由得：|PF1|PF2|.SF1PF2|PF1|PF2|sin 60.12椭圆的简单性质 中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km，远地点5 100 km的椭圆，地球半径约为6 371 km.问题1：此时椭圆的长轴长是多少？提示：2a18 042 (km)问题2：此时椭圆的离心率为多少？提示：a9
14、021，c2 450，e0.271 6.椭圆的简单性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)对称性对称轴：坐标轴对称中心：(0,0)轴长长轴长2a，短轴长2b离心率e(0,1)1椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远2椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(a,0)与焦点F1(c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离3椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反
15、映了椭圆的圆扁程度因为a2b2c2，所以，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆 椭圆的简单性质例1已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标思路点拨将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e，求出m的值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标精解详析椭圆方程可化为1(m0)，m0，m，即a2m，b2.c .由e，得 ，解得m1，椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为
16、2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.一点通求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同 DC1与C2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4，故选D.答案：D2已知椭圆的对称轴
17、是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是()A(1,0) B(0，1)C(，0) D(0，)解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a4，b3，所以c，所以椭圆的焦点坐标是(0，)，故选D.答案：D3已知椭圆方程为4x29y236，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解：把椭圆的方程化为标准方程1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a3，短半轴长b2；又得半焦距c.因此，椭圆的长轴长2a6，短轴长2b4；两个焦点的坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(3,0)，(3,0)，(0，2)，(0,2)离心率e.椭圆性质的简单应用例2求适合下列
18、条件的椭圆的标准方程(1)离心率e，短轴长为8；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.思路点拨(1)焦点的位置不确定，可设标准方程为1或1(ab0)(2)画出图形，结合图形明确已知条件精解详析(1)设椭圆的标准方程为1或1(ab0)由已知得e，2b8，b280.a2144.所求椭圆的标准方程为1或1.(2)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OFc，A1A22b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.一点通利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点
19、位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)(3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b2a2c2，e等4若点P(a,1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为()A.B.C.D.解析：因为点P在椭圆1的外部，所以1，解得a或a，故选B.答案：B5已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos OFA，则椭圆的标准方程为_解析：椭圆的长轴长是6，cos OFA，点A不是长轴的端点(是短轴的端点)|OF|c，|AF|a3，.c2，b232225.椭圆的方程是1或1.答案：1或16已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上
20、的点到焦点的最近距离为4，短轴长为8，求椭圆的方程解：由题意得，解得椭圆的方程为1或1.椭圆的离心率例3如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率思路点拨求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式，此题可利用kPF2kAB以及a2c2b2来建立a，c的关系精解详析设椭圆的方程为1(ab0)则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，kPF2kAB，即b2c.b24c2，a2c24c2，.e2，即e，所以椭圆的离心率为.一点通1求椭
21、圆离心率的方法：(1)直接求出a和c，再求e，也可利用e求解；(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成关于的方程，即为关于离心率e的方程，进而求解2求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围7椭圆x24y21的离心率为()A. B.C. D.解析：将椭圆方程x24y21化为标准方程得x21，则a21，b2，c，离心率e，故选A.答案：A8过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_解析：由题意知，PF1F2为直角三角形，且F1PF260，所以|PF2|2|PF1
22、|.设|PF1|x，则|PF2|2x，|F1F2|x，又|F1F2|2c，所以x .即|PF1|，|PF2| .由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，所以2a，即e.答案：1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a，b.2求离心率e时，注意方程思想的运用 1若椭圆1的离心率e，则m的值是()A3B3或C. D.或解析：若焦点在x轴上，则a，由得c，ba2c23，mb23.若焦点在y轴上，则b25，a2m.，m.答案：B2(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由右焦点为F
23、(1,0)可知c1，因为离心率等于，即，故a2，由a2b2c2知b23，故椭圆C的方程为1.故选D.答案：D3设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.解析：由题意可得|PF2|F1F2|，22c.3a4c.e.答案：C4已知P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，则m2n2的取值范围是()A(0,1 B1,2C(0,2 D2，)解析：因为P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，所以m21，即n222m2，所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22，故选B.答案：B5椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：由题意2b2c，即bc，即c，a2c2c2，则a22c2.，0eb0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若0，椭圆的离心率等于，AOF2的面积为2，求椭圆的方程解：如图，0，AF2F1F2，椭圆的离心率e，b2a2，设A(x，y)(x0，y0)，由AF2F1F2知xc，A(x，y)代入椭圆方程得1，y.AOF2的面积为2，SAOF2c2，而，b28，a22b216，故椭圆的标准方程为：1.
