1、课后素养落实(三十)抛物线的方程及性质的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆A设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线2设抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则的值是()ABC3D3B由y22x得焦点坐标为，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(k0)，由消y得k2x2(k22)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，
2、x1x2.x1x2y1y2x1x2k2x1x2k2k2(1).当直线AB的斜率不存在时，易求得A，B.所以1.综上，的值是.3已知抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()AB(0,0)C(1,2)D(1,4)A法一：设抛物线上点的坐标为(x,4x2)，其中xR，由点到直线的距离公式得d.当x时，d最小，这时点的坐标为.法二：设与y4x5平行的抛物线y4x2的切线方程为y4xm，由得4x24xm0.再由1644(m)0，得m1.这时切点为，切点到y4x5的距离最小4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则
3、该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2B抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.5已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|BF|16，则p的值为()A2B4C2D8C抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yx，代入y22px可得x23px0，x1x23p，x1x2，由抛物线的定义可知，|AF|x
4、1，|BF|x2，|AF|BF|x1x2(x1x2)p22p216，解得p2.二、填空题6已知斜率为k的直线l与抛物线C：y24x交于A，B两点，线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的方程为_2xy30设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)又AB的中点为M(2,1)，y1y22，k2，因此直线AB的方程为y12(x2)，化简得2xy30.7一条光线从抛物线y22px(p0)的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点A(5,4)，若|AB|FB|6，则抛物线的标准方程为_y24x抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线
5、沿平行于抛物线对称轴的方向射出，|AB|FB|6，56，p2，抛物线的标准方程为y24x.8已知抛物线C：y22x，直线l的斜率为k，过定点M(x0,0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，3(O为坐标原点)，则x0_.3设直线l的方程为yk(xx0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2(2k2x02)xk2x0，由根与系数的关系可得，x1x2x，则y1y22x0，3，x1x2y1y23，即x2x03，解得x03.三、解答题9在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2
6、的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值求曲线C1的方程解法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离”所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y220x.10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点，O是坐标原点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解(
7、1)证明：当k0时，直线与抛物线仅一个交点，不合题意，k0.由yk(x1)，得x1，代入y2x，整理得，y2y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y21.点A，B在抛物线y2x上，A(y，y1)，B(y，y2)，kOAkOB1，OAOB(2)设直线AB与x轴交于点E(图略)，则E(1,0)，|OE|1，SOAB|OE|(|y1|y2|)|OE|y1y2|，解得k.1设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()ABCDD由题意可知，直线AB的方程为y，代入抛物线的方程可得4y212y90，设A(x1，y1)，
8、B(x2，y2)，则y1y23，y1y2，故所求三角形的面积为.2已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若2，则|QF|()A8B4 C6D3D设点P(1，t)，Q(x，y)，易知点F(1,0)，则(2，t)，(1x，y)，所以2(1x)2，解得x2，因此|QF|x13.故选D3若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_设点M，|MO|，(y0)23，y22或y26(舍去)，x1.M到抛物线y22x的准线x的距离d1.点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y22x的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为.4已知O
9、为坐标原点，点P(1,2)在抛物线C：y24x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPAkPB0，则kABkOP的值为_2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kAB，kPA，同理kPB.kPAkPB0，0，得y1y24，kAB1.又kOP2，kABkOP122.如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解(1)由抛物线的定义得|AF|2.由已知|AF|3，得23，解得p2.所以抛物线E的方程为y24
10、x.(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r.又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切