1、选修45 不等式选讲教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，bR)2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以数形结合求解在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中低档.基础梳理1绝对值三角不等
2、式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|，当且仅当时，等号成立；(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么，当且仅当时，等号成立|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)0 2绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa 或 x0)型不等式的解法：|axb|c；|axb|c.caxbcaxbc或axbc3基本不等式定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2，当且仅当时，等号成立定理 2：如果 a，b0，那么ab2 ，当且仅当时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理 3：如果 a，b
3、，c 全为正实数，那么abc3 ，当且仅当时，等号成立2abababab3 abcabc三基自测1若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案：2,42不等式|x1|x2|1的解集是_答案：1，)3已知a0，b0，则aabb_(ab)ab2(填大小关系)答案：4已知a，b，c是正实数，且abc1，则1a1b1c的最小值为_答案：95设实数a，b，c满足a2b3c4，a2b2c2的最小值为_答案：87考点一|求解不等式(方法突破)【例1】已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1
4、,1，求a的取值范围解析(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，解得1x1 172.所以f(x)g(x)的解集为x1x1 172.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，解得1a1.所以a的取值范围为1,1名师点拨 解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝
5、对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定跟踪训练 设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且32A，12A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值；(3)解不等式f(x)5.答案：(1)1(2)3(3)2,3考点二|不等式的证明(方法突破)【例2】(2016高考全国卷)已知函数f(x)x12 x12，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解析(1)f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.当x12时，由f(x)2得2x1；当1
6、2x12时，f(x)2；当x12时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23ab24(ab)23ab34，所以(ab)38，因此ab2.考点三|不等式的综合应用(
7、思维突破)【例3】(1)(2016高考全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.当a2时，求不等式f(x)6的解集；设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围(2)设函数f(x)|2x1|x4|.解不等式：f(x)0；若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围解析(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x12时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.(*)当a1时，(*)等价于1aa3，无解当
8、a1时，(*)等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)(2)原不等式即为|2x1|x4|0，当x4时，不等式化为12xx40，解得x0 的解集是x|x4当4x0，解得x1，即不等式组4x0的解集是x|4x0，解得x5，即不等式组x12，|2x1|x4|0的解集是x|x5综上，原不等式的解集为x|x5f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故所求a的取值范围是a|8a10名师点拨 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的
9、思想方法2f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.3求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法跟踪训练(2017高考全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解析：(1)f(x)3，x1，2x1，1x2，3，x2.当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454.当x32时，|x1|x2|x2x54.故m的取值范围为，54.