1、章末综合测评(二)直线和圆的方程(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若直线经过A(1,0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为()A30B45C60D120A由A，B的坐标得kAB，因此直线AB的倾斜角为30，故选A2过点P(1，)且倾斜角为30的直线方程为()Ax3y40Bxy20Cx3y20Dxy0A由倾斜角为30知，直线的斜率k，因此，其直线方程为y(x1)，化简得，x3y40，故选A3过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50B2xy40Cx3y70Dx2y30A结合图形
2、可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为y2(x1)，即x2y50.4过点(2,0)且与直线2x4y10平行的直线方程是()Ax2y10B2xy40Cx2y20Dx2y20C直线2x4y10的斜率为k，故过点(2,0)的直线方程为y0(x2)，化简得x2y20.5经过点(1,0)且圆心是两直线x1与xy2的交点的圆的方程为()A(x1)2y21B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2(y1)22B由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x1)2(y1)21.6若直线l1：ax2y60与直线
3、l2：x(a1)ya210平行，则a()A2或1B1 C2DB依题意得，解得，a1或a2，因为a1适合不等式，a2不适合，所以a1，故选B7已知圆C1：x2y26x4y120与圆C2：x2y214x2ya0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a()A14B34 C14或45D34或14D设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x3)2(y2)21，圆C2的方程可化为(x7)2(y1)250a.由两圆相切得，|C1C2|r1r2或|C1C2|r1r2|，|C1C2|5，r215或|1r2|5r24或r26或r24(舍去)因此，50a16或50a36a34或a14，故选
4、D8已知圆C的圆心为原点O，且与直线xy40相切点P在直线x8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为()A(2,0)B(0,2) C(1,0)D(0,1)A依题意得圆C的半径r4，所以圆C的方程为x2y216.因为PA，PB是圆C的两条切线，所以OAAP，OBBP，所以A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8，b)，bR，则线段OP的中点坐标为，所以以OP为直径的圆的方程为(x4)242，bR，化简得x2y28xby0，bR，因为AB为两圆的公共弦，所以直线AB的方程为8xby16，bR，即8(x2)by0，所以直线AB恒过定点(2,
5、0)二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9下列说法错误的是()A“a1”是“直线a2xy10与直线xay20互相垂直”的充要条件B直线xsin y20的倾斜角的取值范围是C过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20ACD当a0时，两直线方程分别为y1和x2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率ksin ，则1k1，即1tan 1，则，故B说法正确；当x1x2或y1y2时，直线方程为xx1或yy1，此时
6、直线方程不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为yx，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD10在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A1B2 C3D4AB过P点作圆的两条切线，切点分别是A，B，依题意得，四边形PACB是正方形，又C：(x2)2y24，|PC|AC|2，P点在以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上其方程为(x2)2y28.依题意得，直线yk(x1)与圆(x2)2y28有公共点，2，解得k2802k2.故选项AB正确11已知直线xsin ycos 10(R)，则下列
7、命题正确的是()A直线的倾斜角是B无论如何变化，直线不过原点C无论如何变化，直线总和一个定圆相切D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1BCD根据直线倾斜角的范围为0，)，而R，所以A不正确；当xy0时，xsin ycos 110，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S1，所以D正确，故选BCD12已知实数x，y满足方程x2y24x10，则下列说法错误的是()Ayx的最大值为2Bx2y2的最大值为74C的最大值为Dxy的最大值为2CD对于A，设zy
8、x，则yxz，z表示直线yxz的纵截距，当直线与圆(x2)2y23有公共点时，解得2z2，所以yx的最大值为2，故A说法正确；对于B，x2y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2，所以x2y2的最大值为(2)274，故B说法正确；对于C，的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则的最大值为tan 60，故C说法错误；对于D，设mxy，则yxm，m表示直线yxm的纵截距，当直线与圆(x2)2y23有公共点时，解得2m2，所以xy的最大值为2，故D说法错误故选CD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13从原
9、点向圆x2y212y270作两条切线，则这两条切线的夹角等于_60如图，圆的方程可化为x2(y6)29，圆心为P(0,6)，半径为3，过原点O作圆P的两条切线，切点分别为A，B在RtPAO中，|OP|6，|PA|3，所以AOP30，故这两条切线的夹角为60.14若直线l被直线l1：xy10与l2：xy30截得的线段长为2，则直线l的倾斜角(090)的值为_15或75易求得平行线l1，l2之间的距离为. 画示意图(图略)可知，要使直线l被l1，l2截得的线段长为2，必须使直线l与直线l1，l2成30的夹角. 直线l1，l2的倾斜角为45，直线l的倾斜角为453015或453075.15在平面直角
10、坐标系xOy中，直线l：mxy2m10(mR)过定点_，以点(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(本题第一空2分，第二空3分)(2，1)(x1)2y22根据题意，直线l：mxy2m10，即m(x2)y1，由解得即直线l经过定点(2，1)记点(2，1)，(1,0)分别为点M，点C，则|MC| .以点(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r|MC|.故半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.16若直线xym0上存在点P，过点P可作圆O：x2y21的两条切线PA，PB，切点为A，B，且APB60，则实数m的取值范围为_2，2若APB60，则|OP|2，直线x
11、ym0上存在点P，过点P可作圆O：x2y21的两条切线PA，PB等价于直线xym0与圆x2y24有公共点，由圆心到直线的距离公式可得2，解之可得m2，2四、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)直线l经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点(1)若直线l与直线3xy10平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程解(1)由得所以交点坐标为(2,2)，设直线l的方程为3xyc0(c1)，把点(2,2)代入方程得c4，所以直线l的方程为3xy40.(2)由(1)知，当直线l的斜率不存在时，直线l
12、的方程为x2，此时点A(3,1)到直线l的距离为5，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy2k20，则点A(3,1)到直线l的距离d5，解得k，所以直线l的方程为12x5y340.综上，直线l的方程为x2或12x5y340.18(本小题满分12分)等腰直角ABC的直角为角C，且点C(0，1)，斜边AB所在的直线方程为x2y80.(1)求ABC的面积；(2)求斜边AB中点D的坐标解(1)顶点C到斜边AB的距离d2，所以斜边AB2d4，故ABC的面积SABd4220.(2)由题意知，CDAB，又kAB，所以kCD2，所以直线CD的方程为y2x1，即2xy10，由解
13、得所以点D的坐标为(2,3)19(本小题满分12分)已知圆C：x2y22y40，直线l：mxy1m0.(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|3，求直线l的方程解(1)圆C的标准方程为x2(y1)25，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r，圆心C(0,1)到直线l：mxy1m0的距离d10，m0)，因为圆心在线段AB的垂直平分线上，且易得线段AB的垂直平分线方程为xy0.所以解得或又要求视角最大，所以a0，b，所以圆的方程为x2(y)22.令y0，可得切点坐标为(0,0)，所以观景点应设在B景点在小路的射影处22(本小题满分12分)已知圆C过点M(0，2)，N(3,1)，且圆心C在直线x2y10上(1)求圆C的方程(2)设直线axy10与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解(1)设圆C的方程为x2y2DxEyF0，依题意得解得所以圆C的方程为x2y26x4y40.(2)假设符合条件的实数a存在因为l垂直平分弦AB，故圆心C(3，2)必在直线l上，所以l的斜率kPC2，kABa，所以a.由圆C的半径r3，圆心C到直线xy10的距离d3，所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB