1、 A基础达标1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1，0，1)，b(0，1，1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60 D90解析：选C.因为直线与平面所成角的范围是，所以l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cosa，b，所以a，b60.2已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，则直线AC与DE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，cos，.3已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60，则二面角APBC的余弦值为()A
2、. B.C. D.解析：选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PDPEPF，可知三棱锥DPEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得DHF为二面角APBC的平面角，设a，b，c，则bc，ba，cos，.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C150 D60解析：选B.以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则
3、有可取n(1，0，1)又平面EAD的法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.5在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.不妨设ABBCPA2，因为OP底面ABC，所以PO.根据题意，以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，P(1，1，)因为点O，D分别是AC，PC的中点，所以(，)又(0，2，0)，(1，1，)，设平面PBC的法向量n(x，y，
4、z)，则，即，取n(，0，1)，所以cosn，所以sin (为OD与平面PBC所成的角)，故选D.6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1Px，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，(1，x1，2)，(2，0，1)所以0，所以直线BM与OP所成的角为.答案：7已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得(1，2，0)，(1，0，
5、3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由，知.令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：8正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_解析：设三棱柱的棱长为1，以B为原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则.易知平面BB1C1C的一个法向量n(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为，则sin |cosn，|，所以cos .答案：9.如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4.求异面直线AQ与PB所成
6、角的余弦值解：由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，连接PQ，则PQ过点O，所以ACBD.由正四棱锥的性质知PQ平面ABCD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，2)，B(0，2，0)，所以(2，0，2)，(0，2，1)于是cos，所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.10.如图，在四棱锥PABCD中，O是AD的中点，PO平面ABCD，PAD是等边三角形，ABBCAD1，cosADB，ADBC，ADBD.(1)证明：平面POC平面PAD；(2)求直线PD与平面PAB所
7、成角的大小解：(1)证明：因为PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以POAD，在DAB中，因为ABAD1，cosADB，所以cosADB，即BD28BD30，解得BD或BD，因为BDAD2，与ADBD矛盾，所以BD.因为AB2AD21225BD2，所以DAB是直角三角形，BAD90，因为ADBC，O是AD的中点，ABBCAD，所以四边形ABCO是正方形，所以COAD.由，得AD平面POC.又AD平面PAD，所以平面POC平面PAD.(2)如图，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，
8、0)，P(0，0，)，(0，1，)，(1，1，)，(0，1，)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则，所以，令z1，则y，x0，则n(0，1)为平面PAB的一个法向量直线PD与平面PAB所成的角记为，则sin |cosn，|，故60，所以直线PD与平面PAB所成角的大小为60.B能力提升11.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
9、立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)(1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1，2，1)又(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得(2，1，0)设AEh，h0，2，则E(0，0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.12如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到
10、A1BE的位置，如图.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知可得，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，则，(，0，0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，
11、z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则即取n1(1，1，1)；即取n2(0，1，1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为.13(选做题)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意
12、可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0)(1)证明：依题意，(2，0，0)，(1，1，2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0，2，1)又(0，1，2)，可得n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)易证，(1，1，0)为平面OEF的一个法向量依题意，(1，1，0)，(1，1，2)设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即不妨设x1，可得n2(1，1，1)因此有cos，n2，于是sin，n2.所以二面角OEFC的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1，2)，所以，进而有H，从而，因此cos，n2.所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.