1、2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷三一、单项选择题1.设复数z满足z(1-i)=2+i,则z的共轭复数z的虚部是()A.32B.32iC.-32D.-32i2.已知集合A=x|1x1,B=x|x-1|2,则AB=()A.(-1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-1,0)(1,3)3.若a=9412,b=3log83,c=2313,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.abc C.bacD.cab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,且PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D
2、.14二、多项选择题9.2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图如图所示,下列结论中正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的变化幅度从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海10.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中错误的是()A.若m,n,则mnB.若,则C.若m,n,且m,n,则D.若m,n,且,则m n11.下列关于函数f(x)=2|sin x|+|cos x|的说法中,正确的是()A.是
3、函数f(x)的一个周期B.f(x)是偶函数C.1f(x)5D.y=f(x),x0,的图象与直线y=2有且只有2个公共点12.若无穷数列an满足:a10,当nN*,n2时,|an-an-1|=maxa1,a2,an-1(其中maxa1,a2,an-1表示a1,a2,an-1中的最大项),有以下结论,其中正确的是()A.若数列an是常数列,则an=0(nN*)B.若数列an是公差d0的等差数列,则d0C.若数列an是公比为q的等比数列,则q1D.若存在正整数T,对任意nN*,都有an+T=an,则a1是数列an的最大项三、填空题13.x2-1x6展开式中的常数项为.14.对于中心在原点的双曲线,给
4、出下列三个条件:离心率为2;一条渐近线的倾斜角为30;实轴长为4,且焦点在x轴上.写出一个符合其中两个条件的双曲线的标准方程.15.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作,最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形ABCD,测得AB=2 km,BC=1 km,BAD=45,ABC=60,BCD=105,则该绿化区域的面积是km2.16.如图,在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),按此规律一直运动下去,则a2 017+a2 018+a2 019+a2 020=.17.设数列an满足:a1=1,
5、且2an=an+1+an-1(n2),a3+a4=12.(1)求an的通项公式;(2)求数列1anan+2的前n项和Sn.18.在a=2,B=4,c=3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sin B+sin A)=c(3sin B-sin C).(1)求A的大小;(2)已知,若ABC存在,求ABC的面积;若ABC不存在,请说明理由.19.如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P为DC的中点,将ADP沿着AP折起,使得BD=3.(1)求证:ADBP;(2)若M是BD的中点,求直线AM与平面DBC所
6、成角的正弦值.20.新中国成立70周年庆典阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队的筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为165,167),167,169),169,171),171,173),173,175五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态
7、分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.(i)求P(167.86X174.28);(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率.参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2Xb0)的离心率e满足2e2-32e+2=0,以坐标原点为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆与直线2x-y+45=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得QAQB=SAPQSBPQ恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在
8、,请说明理由.22.已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2, f (x)是f(x)的导函数.(1)证明:当x0时, f(x)0;(2)证明:函数g(x)=(1-sin x)xex-f (x)+2-2在(-,)上有且只有3个零点.2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷三一、单项选择题1.设复数z满足z(1-i)=2+i,则z的共轭复数z的虚部是()A.32B.32iC.-32D.-32i答案Cz(1-i)=2+i,则z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2=12+32i,故z=12-32i,虚部为-32.故选C.2.已知集合A=x|1x1,B=x|
9、x-1|2,则AB=()A.(-1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-1,0)(1,3)答案DA=x|1x0=(-,0)(1,+),B=x|x-1|2=x|-2x-12=(-1,3),AB=(-1,0)(1,3).故选D.3.若a=9412,b=3log83,c=2313,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.abcC.bacD.calog2232=32=a1,c=23131,故ca0;当x(0,+)时,y0,所以原函数在(-1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减.令g(x)=x-ln(x+1),则g(x)=1-1x+1=xx+1,当x(-1,0)时,g(x)0,则
10、g(x)在(-1,0)上单调递减,且g(x)g(0)=0,g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)g(0)=0,所以函数y=1x-ln(x+1)在定义域中,函数值均大于0.故选A.6.在平行四边形ABCD中,DE=3EC,若AE交BD于点M,则AM=()A.13AB+23ADB.37AB+47ADC.23AB+13ADD.27AB+57AD答案B如图,DE=3EC,E为线段DC上靠近点C的四等分点.显然ABMEDM,即AMME=ABDE=43,AM=47AE=47(AD+DE)=47AD+34AB=37AB+47AD.故选B.7.已知圆C:x2+y2=1,直线l:ax-y+4=0.若直线l上存
11、在点M,并且以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是()A.(-,-33,+)B.-3,3C.(-,-33,+)D.-3,3答案C由题意得,|MC|2,即圆C:x2+y2=1的圆心到直线l:ax-y+4=0的距离d2,所以d=4a2+12,解得a-3或a3.故选C.8.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,且PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D因为PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,所以PF2=F1F2=2c,由直线AP的斜率
12、为36得,tanPAF2=36,所以sinPAF2=113,cosPAF2=2313,因为PF2AF2=sinPAF2sinAPF2,所以2ca+c=113sin3-PAF2=113322313-12113=25,所以a=4c,所以e=14,故选D.二、多项选择题9.2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图如图所示,下列结论中正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的变化幅度从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海答
13、案ABC变化幅度看折线图,越接近零表明变化幅度越小,比零小表明价格下跌;平均价格看条形图,条形图越高表明平均价格越高,所以A、B、C都正确,D错误,故选ABC.10.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中错误的是()A.若m,n,则mnB.若,则C.若m,n,且m,n,则D.若m,n,且,则m n答案ABC若m,n,则m与n相交、平行或异面,故A中命题错误;若,则与相交或平行,故B中命题错误;若m,n,且m,n,则与相交或平行,故C中命题错误;若m,n,且,则mn,故D中命题正确.故选ABC.11.下列关于函数f(x)=2|sin x|+|cos x|的说法中,正确的是()
14、A.是函数f(x)的一个周期B.f(x)是偶函数C.1f(x)5D.y=f(x),x0,的图象与直线y=2有且只有2个公共点答案ABCf(x+)=2|sin(x+)|+|cos(x+)|=2|sin x|+|cos x|=f(x),故A中说法正确;因为f(-x)=2|sin(-x)|+|cos(-x)|=2|sin x|+|cos x|=f(x),且xR,所以f(x)为偶函数,故B中说法正确;由f2+x=f2-x=2|cos x|+|sin x|得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)在R上的值域与其在0,2上的值域相同,当x0,2时, f(x)=2sin x+cos x=5sin(
15、x+)|2,角的终边过点25,15,故00C.若数列an是公比为q的等比数列,则q1D.若存在正整数T,对任意nN*,都有an+T=an,则a1是数列an的最大项答案ACD若数列an是常数列,则|an-an-1|=maxa1,a2,an-1=0,所以an=0(nN*),故A中结论正确;若数列an是公差d0的等差数列,则|an-an-1|=maxa1,a2,an-1=|d|,所以an有最大值,因此an不可能递增且d0,所以d0,且|a2-a1|=a1=|q-1|a1,所以|q-1|=1,解得q=2或q=0,因为q0,所以q=2,即q1,故C中结论正确;若存在正整数T,对任意nN*,都有an+T=
16、an,假设在a1,a2,aT中ak最大,则a1,a2,an中都是ak最大,则|a2-a1|=a1,且|aT+2-aT+1|=ak,即|a2-a1|=ak,所以ak=a1,所以a1是数列an的最大项,故D中结论正确.故选ACD.三、填空题13.x2-1x6展开式中的常数项为.答案15解析通项公式Tr+1=C6r(x2)6-r-1xr=(-1)rC6rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,展开式中的常数项为C64=15.14.对于中心在原点的双曲线,给出下列三个条件:离心率为2;一条渐近线的倾斜角为30;实轴长为4,且焦点在x轴上.写出一个符合其中两个条件的双曲线的标准方程.答案y2-x23
17、=(0)或x24-y212=1或x24-3y24=1解析符合条件:若双曲线的焦点在x轴上,则设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,所以ca=2,ba=tan30,解得c=2a,a=3b,因为c2a2+b2,所以没有符合条件的双曲线方程;若双曲线的焦点在y轴上,则设双曲线方程为y2a2-x2b2=1,所以ca=2,ab=tan30,解得c=2a,b=3a,所以双曲线方程为y2-x23=(0).符合条件:因为ca=2,2a=4,所以c=4,a=2,所以b=23,所以双曲线方程为x24-y212=1.符合条件:因为ba=tan30,a=2,所以b=233,a=2,所以双曲线方程为x24-3y24=1
18、.15.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作,最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形ABCD,测得AB=2 km,BC=1 km,BAD=45,ABC=60,BCD=105,则该绿化区域的面积是km2.答案6-34解析如图,连接AC,由题意可知AC=AB2+BC2-2ABBCcosABC=3 km,则AC2+BC2=AB2,故ACB=90,CAB=30,DAC=DCA=15,ADC=150.由正弦定理得,ACsinADC=ADsinDCA,即AD=ACsinDCAsinADC=36-2412=32-62(km),故S四边形ABCD=SABC+SADC=1213+1232
19、-62212=6-34(km2).16.如图,在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),按此规律一直运动下去,则a2 017+a2 018+a2 019+a2 020=.答案2 019解析由直角坐标系可知,A(1,1),B(-1,2),C(2,3),D(-2,4),E(3,5),F(-3,6),即a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,由此可知,数列中偶数项是从1开始递增的,且都等于其项数除以2,设每四个数为一组,则其中有一个负数,且为每组的第三个数,每组的第一个数为其
20、组数,每组的第一个数和第三个数互为相反数,因为2 0204=505,所以a2 017=505,a2 018=1 009,a2 019=-505,a2 020=1 010,所以a2 017+a2 018+a2 019+a2 020=2 019.17.(2020河北衡水中学高三月考)设数列an满足:a1=1,且2an=an+1+an-1(n2),a3+a4=12.(1)求an的通项公式;(2)求数列1anan+2的前n项和Sn.解析(1)由2an=an+1+an-1(n2)可知数列an是等差数列,设数列an的公差为d,因为a1=1,所以a3+a4=a1+2d+a1+3d=12,解得d=2,所以an
21、的通项公式为an=2n-1(nN*).(2)由(1)知1anan+2=1(2n-1)(2n+3)=1412n-1-12n+3,所以数列1anan+2的前n项和Sn=141-15+13-17+15-19+12n-1-12n+3=141+13-12n+1-12n+3=13-n+1(2n+1)(2n+3).18.(2020山东日照高三联考)在a=2,B=4,c=3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sin B+sin A)=c(3sin B-sin C).(1)求A的大小;(2)已知,若ABC存在,求ABC的面
22、积;若ABC不存在,请说明理由.解析(1)因为(b-a)(sin B+sin A)=c(3sin B-sin C),所以(b-a)(b+a)=c(3b-c),即b2+c2-a2=3bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,因为0A1,不成立,所以ABC不存在.19.(2020浙江大学附属中学高三模拟)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P为DC的中点,将ADP沿着AP折起,使得BD=3.(1)求证:ADBP;(2)若M是BD的中点,求直线AM与平面DBC所成角的正弦值.解析(1)证明:因为AB=2,AD=1,P为DC的中点,所以在ABP中,AP2+BP2=A
23、B2,所以BPAP.又因为BD=3,所以在BDP中,DP2+BP2=BD2,所以BPDP.又APDP=P,所以BP平面ADP,又AD平面ADP,所以BPAD.(2)以P为原点,PA,PB所在直线分别为x轴,y轴,过点P垂直于平面PAB的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D22,0,22,M24,22,24,C-22,22,0,所以DB=-22,2,-22,BC=-22,-22,0,AM=-324,22,24,设平面DBC的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nBC=0,即-22x+2y-22z=0,-22x-22y=0,令x
24、=1,则y=-1,z=-3,所以平面DBC的一个法向量为n=(1,-1,-3),设直线AM与平面DBC所成的角为,则直线AM与平面DBC所成角的正弦值sin =|cos |=|AMn|AM|n|=-3241+22(-1)+24(-3)1172=415477.20.(2020重庆高三模拟)新中国成立70周年庆典阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队的筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为165,167),167,169),169,171),171,1
25、73),173,175五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.(i)求P(167.86X174.28);(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率.参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,11510.7,0.954 410
26、0.63,0.977 290.81,0.977 2100.79.解析(1)由题意知,第三组的频率为75200=0.375,则第五组的频率为0.7-0.375-0.1252=0.075,第二组的频率为1-0.7-0.052=0.2,所以五组频率依次为0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,所以x=0.1166+0.2168+0.375170+0.25172+0.075174=170,s2=(170-166)20.1+(170-168)20.2+(170-172)20.25+(170-174)20.075=4.6.(2)由(1)知=170,=4.6=11552.14.(i)P(167.8
27、6X174.28)=P(-X+2)=P(-X+)+P(-2X+2)-P(-X174.28)=P(X+2)=1-0.954 42=0.022 8,故10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率P=1-(1-0.022 8)10=1-0.977 2101-0.79=0.21.21.(2020山东泰安高三二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e满足2e2-32e+2=0,以坐标原点为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆与直线2x-y+45=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的
28、定点Q,使得QAQB=SAPQSBPQ恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知2a=|0-0+45|4+1,解得a=2,由2e2-32e+2=0,解得e=22或e=2(舍),故c=2,b=2,椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)假设y轴上存在与点P不同的定点Q,使得|QA|QB|=SAPQSBPQ恒成立,设Q(0,m)(m1),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1(k0),由x24+y22=1,y=kx+1,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1,=16k2+8(2k2+1)=
29、32k2+80,SAPQSBPQ=12|QP|QA|sinPQA12|QP|QB|sinPQB=|QA|sinPQA|QB|sinPQB,|QA|QB|=SAPQSBPQ,sinPQA=sinPQB,PQA=PQB,kQA=-kQB,y1-mx1=-y2-mx2,(m-1)(x1+x2)=2kx1x2,即-(m-1)4k2k2+1=-4k2k2+1,解得m=2,存在定点Q(0,2),使得|QA|QB|=SAPQSBPQ恒成立.22.(2020山东泰安高三四模)已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2, f (x)是f(x)的导函数.(1)证明:当x0时, f(x)0;(2)证明:函数g(x)=
30、(1-sin x)xex-f (x)+2-2在(-,)上有且只有3个零点.证明(1)f (x)=(x-1)ex+1,令k(x)=(x-1)ex+1,则k(x)=xex,当x0时,k(x)0,所以f (x)在(0,+)上单调递增,所以当x0时, f (x)f (0)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=0,所以当x0时, f(x)0.(2)g(x)=(1-sin x)xex-f (x)+2-2=(1-sin x)ex-sin x-1,令g(x)=0,得(1-sin x)ex-sin x-1=0,即ex-1ex+1-sin x=0,令h(x)=ex-1ex+1-sin x,则h(-
31、x)=e-x-1e-x+1-sin(-x)=-ex-1ex+1-sinx=-h(x),所以y=h(x)是奇函数,且h(0)=0,即0是h(x)的一个零点,令t(x)=ex-1ex+1,则t(x)=2ex(ex+1)2,当x(0,)时,t(x)0,所以t(x)在(0,)上单调递增,令r(x)=sin x,则r(x)在0,2上单调递增,在2,上单调递减.由(1)知,当x0,2时,(x-2)ex+x+20,即ex-1ex+10,m(x)单调递增,当x3,2时,m(x)0,所以当x0,2时,m(x)0恒成立,即当x0,2时,x2sin x恒成立,所以当x0,2时,ex-1ex+1x2sin x,所以当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在2,上为增函数,且h2=e2-1e2+1-10,所以h(x)在(0,)上有且只有一个零点,设为x0,则h(x0)=0,因为h(x)是奇函数,所以h(-x0)=-h(x0)=0,所以h(x)在(-,0)上的零点为-x0,所以h(x)在(-,)上的零点为-x0,0,x0,所以h(x)在(-,)上有且只有3个零点,即g(x)在(-,)上有且只有3个零点.
