1、课后素养落实(七)空间中直线、平面的平行(建议用时：40分钟)一、选择题1已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，则l与的位置关系是()AlBlCl与相交但不垂直Dl或lDau3(1)221(1)0，au，l或l，故选D2已知平面和平面的法向量分别为m(3,1，5)，n(6，2,10)，则()ABC与相交但不垂直D以上都不对B因为m(3,1，5)，n(6，2,10)，所以有n2m，即m与n共线(平行)，可知平面和平面相互平行答案选B3平面的法向量u(x,1，2)，平面的法向量v，已知，则xy()ABC3DA由题意知，uv，即解得4，y，x4，xy4.4在空间直角
2、坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面D是同一条直线B(3，3,3)，(2,0，2)，(1,1，1)，3，与不共线，且点C不在直线AB上，ABCD，故选B5已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为n1(2，3,1)，向量(1,0，2)，(1,1,1)，则()A平面平面ABCB平面平面ABCC平面与平面ABC相交但不垂直D以上均有可能A因为n10，n10，ABACA，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面与平面ABC不重合，所以平面与平面ABC平行，故选A二、填空题6若a是平面的一个法向量，且
3、b(1,2,1)，c均与平面平行，则向量a_.由题意知即解得a.7已知，为两个不重合的平面，设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,4，8)垂直，则平面与的位置关系是_平行由题意知，向量a与向量b分别是平面与平面的法向量，且b2a，ab，.8已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则与的位置关系是_平行(0,1，1)，(1,0，1)，则n0，n0，即n，n且ABACA向量n也是平面的一个法向量，.三、解答题9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别为A1C1和BC的中点求
4、证：C1F平面ABE.证明如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BCa，ABb，BB1c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.所以(0，b,0)，.设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则y0，z，即n.又，所以n0，又C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.10已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点求证：平面A1EF平面B1MC证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1
5、)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，所以(1,1,0)，(1,0，1)，(1,0,1)，(0，1，1)，设，v(，vR，且均不为0)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由可得即所以可取n1(1,1，1)由可得即可取n2(1,1，1)，所以n1n2，所以n1n2，所以平面A1EF平面B1MC1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建
6、立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C2.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是()A异面直线B平行直线C垂直不相交D垂直且相交B设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建立如图所示坐标系，则(1,0,1)，(1,1,0)，设(a，b，c)，则取(1,1，1)，(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)，PQBD1.3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BD
7、E，则平面BDE的一个法向量为_，点M的坐标为_(1,1，)(答案不唯一)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示则C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，0)，E(0,0,1)，A(，0)，(，0,1)，(，0)，设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则x1，y1，所以n(1,1，)，又(a，a，1)，naa0，a，即M.4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP平面B1AE，则AP的长为_建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设|AB|a，点P坐标为(0,0，b)，
8、则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，(a,0,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，设，即(0，1，b)(a,0,1).b，即AP.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且ADBC，ABD是边长为1的等边三角形，BC3.问：线段BD上是否存在点N(不包括端点)，使得直线CE平面AFN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解存在理由如下：平面ADEF平面ABCD，四边形ADEF为正方形，AF平面ABCD过点D作DGBC于点G.如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B，C，D(0,0,0)，E(0,0,1)，F(1,0,1)，(0,0,1)，.设，01，则，则.设n(x，y，z)是平面AFN的法向量，则即取x，则y，n是平面AFN的一个法向量由n0，得，符合题意，即存在点N，使得直线CE平面AFN，此时.