1、第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算 1.平面向量的实际背景及基本概念.(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算.(1)掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.名称定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为 共线向量(平行向量)方向相同或相反的非零
2、向量 零向量与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 记作ab 1.向量的有关概念a|a|向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|_；(2)当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当|b|解析：方法一，由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，得ab0ab.故选 A.方法二，由|ab|ab|得平行
3、四边形为矩形，所以 ab.故选 A.答案：A【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是与 a 同方向的单位向量.考点 2平面向量的线性运算例 2：(1)(2018 年新课标)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC 答案：A解析：EB12AB12DB 12AB14CB12
4、AB14ABAC 34AB14AC.(2)(2017 年黑龙江牡丹江一中统测)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD交于点 F，若ACa，BD b，则AF()A.14a12bB.12a14bC.23a13bD.13a23b解析：如图 D27，在ABCD 中，O 为 BD 的中点，E 为 OD的中点，由DEFBEA，知 DF13AB，CD 12(BD AC)AFACCFAC23CDAC13(BD AC)23AC13BD 23a+13b.故选 C.图 D27答案：C(3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 是 AA1
5、的中点，已知ABa，AD b，AA1 c，用 a，b，c 表示CM，则CM _.【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.答案：ab12c考点 3 共线向量定理的应用例 3：设两个非零向量 a 与 b 不共线.D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线.(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab).求证：A，B，(1)证明：ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，BD BC CD 2a8b3(a
6、b)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线.它们有公共点 B，A，B，D 三点共线.(2)解：kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.a，b 是不共线的两个非零向量，kk10.k210.k1.【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.【互动探究】1.(2015 年新课标)设向量 a，b 不平行，向量ab 与
7、a2b 平行，则实数_.12考点 4 三点共线的充要条件例 4：设OA，OB 不共线，且OP OA OB，则 P，A，B共线的充要条件是 1(，R).证明：充分性：1，OP OA OB(1)OA OB OA(OB OA)OA AB.OP OA AB.APAB.AP，AB共线.有公共点 A，A，P，B 三点共线.必要性：若 P，A，B 三点共线，则APAB(OB OA).OP OA OB OA.OP(1)OA OB.令 1，则OP OA OB，其中 1(，R).【互动探究】图 4-1-22.如图 4-1-2，ABC 中，AEEB，CF2FA，BF 交 CE于 G.(1)AG xAEyAF，是 x
8、y()A.25B.35 C.45D.75(2)若AG mABnAC，则 mn_.解析：(1)B，G，F 三点共线，AG xAEyAFx2AByAF，x2y1.E，G，C 三点共线，且AG xAEyAFxAEy3AC，xy31.由、，解得 x45，y35.xy75.故选 D.答案：(1)D3(2)5(2)由(1)，知AG 45AE35AF25AB15AC，mn35.难点突破利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题例题：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.外心C.内心B.垂心D.重心线的三点，动点 P 满足OP OA(ABAC)，0，
9、)，答案：D解析：设ABACAD，则可知四边形 BACD 是平行四边形，而APAD 表明 A，P，D 三点共线.又点 D 在边 BC 的中线所在的直线上，于是点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心.(2)如图 4-1-3，O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OA AB|AB|AC|AC|，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()图 4-1-3A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：作BAC 的平分线 AD.OP OA AB|AB|AC|AC|，APAB|AB|AC|AC|AD|AD|0，).AP|AD|AD.A，P，D 三点共线.点 P 的轨迹一定通
10、过ABC 的内心.答案：B【互动探究】3.已知 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC 0，且PAPBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心解析：由|OA|OB|OC|，知 O 为ABC 的外心；由NANBNC 0，知 O 为ABC 的重心；PAPBPBPC，(PAPC)PB0.CAPB0.CAPB.同理，PABC，P 为ABC 的垂心.答案：C4.若 P 为ABC 所在平面内一点.(1)若(OP OA)(AB AC)0，则动点 P 必过ABC 的_；(2)若CA 2CB 22ABCP，则动点 P 必过ABC 的_.解析：(1)由题意，知APCB0，APBC.动点 P 必过ABC 的垂心.(2)由题意，知 2ABCP CB 2CA 2(CB CA)(CB CA)AB(CBCA)，即 2ABCPAB(CBCA).AB(2CPCBCA)AB(BPAP)0.以BP，AP为邻边的平行四边形的对角线互相垂直.点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.P 必过ABC 的外心.答案：(1)垂心(2)外心
