1、唐山一中2019-2020学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 无穷多个【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】因，所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，故选：B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知数列满足，(，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
2、A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解】当时，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.3.已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量，且，则，因为则=。故答案为：C。4.函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根
3、据分段函数转化两个不等式组，解得结果.【详解】因为，所以或因此或，或，即故选:A【点睛】本题考查分段函数性质以及解指对数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.5.某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)()A. 150毫克/升B. 300毫克/升C. 150ln 2毫克/升D. 300ln 2毫克/升【答案】C【解析】【分析】由当时，污染物数量的变化率是，求出，再利用关系式，可求 的值【详解】选C因为当
4、t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)【点睛】本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题6.已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】借助第三量比较大小关系.【详解】因为所以故选：D【点睛】本题考查比较大小以及二次函数值域，考查基本分析判断能力，属中档题.7.已知直线(，)过，求的最小值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件得，再代入化简，最后利用基本不等式求最值.【详解】因为直线(，)过，
5、所以，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.8.如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，给出下列结论：，三点共线；，不共面；，共面；，共面.其中正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据公理确定点共面与点共线，再根据异面直线判定定理判定共面问题，即得结果.【详解】因为是的中点，所以是的中点，从而在平面上，也在平面上；又在平面上，也在平面上；因为直线交平面于点，所以在上，即在平面上，也在平面上；因此，在平面与平面的交线上，即，三点共线，正确；，都在平面上，所以错误，正确；根据异
6、面直线判定定理可得与异面，从而错误；故选：C【点睛】本题考查异面直线判定定理以及利用公理判定点共面与点共线，考查基本分析判断能力，属中档题.9.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值10.在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b
7、，c，且B2C,2bcosC2ccosBa，则角A的大小为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得，为锐角,所以，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.11.实数，成等差，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件确定动直线过定点，再确定点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.【详解】因为，成等差，所以，因此过定点,因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点）故选：B【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解
8、能力，属中档题.12.四面体的四个顶点在同一球面上中，为的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据对称性确定球心，再确定截面面积的最大值与最小值的取法，最后根据面积公式求比值.【详解】取BD中点F，则根据对称性得球心为EF中点，且EFAC因为，所以AFBD，CFBD,过作其外接球的截面，则截面面积的最大为球的大圆，半径为;截面面积的最小为以AC为直径的圆，半径为，从而截面面积的最大值与最小值的比为故选：D【点睛】本题考查多面体外接球以及球的截面，考查空间想象能力与综合分析求解能力，属中档题.第卷（共90分）二、填空
9、题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，若点在第四象限，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】因为，又点在第四象限，所以，故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由题意，得，故存在切点，使得，所以有解由于，所以（当且仅当取等号），即考点：1、导数的几何意义；2、基本不等式【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题求值
10、域时又利用题设中的，巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解15.执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的取值范围为_【答案】【解析】执行程序一次，执行第二次后，执行第三次后，执行第四次后，此时应该跳出循环，所以，故填 16.已知函数(，)，对任意，恒有且在区间上单调，则的可能值有_【答案】个【解析】【分析】根据条件结合正弦函数最值以及单调性确定值以及的可能值.【详解】因为，所以，；因为，所以；因此，因为在区间上单调，所以或即或，因为，从而或，即故答案为：3个【点睛】本题考查正弦函数最值与单调性性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
11、程或演算步骤.）17.在中，.(1)求的值；(2)设的面积，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求，再利用三角形面积公式求高.【详解】解：(1)，钝角，为钝角为锐角，.(2)，设，边上的高为则，.边上的高为.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在数列中，且对任意的N*，都有.（）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）可变形为，故
12、是等比数列.利用累加法可以求出的通项.（）由（）知，用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.【详解】（）由可得 又，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19.如图，在三棱柱中，为的中
13、点，点在平面内的射影在线段上. (1)求证：平面；(2)若是正三角形，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设点在平面内的射影，先根据射影得，再根据计算得，最后根据线面垂直判定定理得结果，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立坐标解得面与面的法向量，再根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】(1)证明：设点在平面内的射影，则，平面，平面，因平面，所以.在中，则，在中，则，故，故因，故平面.(2)以为坐标原点，所在的直线分别为，轴正半轴,垂直平面的直线为z轴建系面的法向量.，设面的法向量，则令得因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
14、【点睛】本题考查线面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.已知为函数的一个极值点.（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）根据题意,求得实数的值，解导不等式明确函数的单调性；（2）方程有且只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，即的图象与有且只有一个公共点即可.详解：（1）， 为函数的一个极值点， ，故，令，解得或 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；（2）方程，整理得因为，所以有令，则令，故在上是增函数 ， 当时，即，单调递减；当时，
15、即，单调递增； 当或时， 方程有且只有一个实数根时，实数点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解21.已知中，内角，的对边分别为，.(1)若且，求角大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化简得，再代入条件化简得，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得面积为，再根据锐角三角形确定B角范围，最
16、后根据正弦函数性质求取值范围.【详解】(1)由于，由正弦定可得，即，故，又，所以，即由于，所以，由于是三角形的内角，故.(2)由，所以，所以面积为由于为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以.即面积的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.22.已知（1）当a0时，求f（x）的极值；（2）当a0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a（2, 3），x1, x21, 3，恒有（mln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）当时，在和上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）.【解析】【详解】（1）当时，由,解得，可知在上是增函数，在上是减函数.的极大值为，无极小值. 当时，在和上是增函数，在上是减函数； 当时，在上是增函数； 当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）当时，由（2）可知在上是增函数，. 由对任意的a（2, 3），x1, x21, 3恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 由于当时，.