1、广东饶平二中2011高考第一轮学案：基本不等式及应用一、知识归纳：1基本不等式：，（当且仅当时，取等号）变形：，重要不等式：如果，则（当且仅当时，取“”号）2最值问题： 已知是正数，如果积是定值P，则当时，和有最小值；如果和是定值S，则当时，积有最大值.利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。3称为的算术平均数，称为的几何平均数。4（文科不作要求）三元基本不等式：若，则二、学习要点：1掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。2基本不等式的应用在于“定和求积
2、、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。3只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。4基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。三、例题分析：例1已知，则的最大值是_.例2已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。例3求下列函数的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相应的，的值。例4. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。
3、（1）将总造价表示为的函数； （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 四、练习题：1设，且，则的最小值是A6 B C D2下列不等式中恒成立的是A B C D3下列结论正确的是A当且时， B时，C的最小值为2 D当无最大值4对任意正实数，恒成立,则正实数的最小值为A2 B4 C6 D85已知，则的最小值是A2BC4D56函数的最大值为，最小值为，则的值是A B C D7下列函数中最小值是4的是 A B C D8设若的最小值为 A 8 B4 C D19若直线过圆的圆心，则的最大值是A B C D10已知，则A B C D11点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大
4、值是_.12函数的最小值是_.13已知，则的最小值 .14已知，且，则下列不等式；。其中正确的序号是_.15已知且，求的最大值。16经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？17某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。（
5、1）设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，求函数的解析式；（2）为使仓库总面积达到最大，正面铁栅长应为多少米？18周长为12的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？ （三）基本不等式及应用参考答案三、例题分析：例1已知，则的最大值是_.例2已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。解：（1）由，得， 又，则，得，当且仅当时，等号成立。 （2）法1：由，得， 则 ，当且仅当，即时，等号成立。法2：由，得，则=。例3求下列函数的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相应的x，y的值。解：（1）换元法，设，则， 且当且仅当，即时，等号成立。则函数的最小值是9。 （2
6、）由，且得 ，当且仅当，即，时，等号成立。故当，时，的最大值是例4围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。（1）将总造价表示为的函数： （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为 m则由已知,得,所以(II).当且仅当=时，等号成立.即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 四、练习题：110： BABBC CC
7、 D AA解析：4解析 不等式对任意正实数，恒成立，则9， 2或4(舍去)，所以正实数的最小值为4，选B5解析 因为当且仅当，且 ，即时，取“=”号。11_12 _3_.13 _ 3_.14 _.15已知且，求的最大值。解：且，即，当且仅当时，等号成立。16经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时， 17某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙
8、不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。（1）设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，求函数的解析式；（2）为使仓库总面积达到最大，正面铁栅应设计为多长？17解：（1）因铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 依题设，则，故（2）令，则则当且仅当，即时，等号成立所以当铁栅的长是15米时，仓库总面积达到最大，最大值是解法二：依题设，由基本不等式得，即，故，从而所以的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。18周长为12的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？ 解：设矩形长为，宽为，成圆柱的底面半径，休积为则有，则，其中则当且仅当，即时，等号成立。这时，即圆柱的底面周长与圆柱的高的比为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m