1、河北省唐山市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）说明：1考试时间120分钟，满分150分.2将卷答案用2B铅笔涂在答题卡上，将卷答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上.卷选择题一单项选择题（共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1. 设，则z的共轭复数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：的共轭复数为，故选D考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的否定的定义可得答案【详解】命题“，”的否定是“，”故选：C3. 抛物线的焦点坐标
2、是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D.考点：抛物线的标准方程及其几何性质.4. 已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案【详解】解：直线过定点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是故选【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题5. 设,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解出命题中
3、不等式解集，然后利用十字相乘法求出命题，然后根据是的必要不充分条件求出的取值范围.【详解】由题意得命题：，命题：，因为是的必要不充分条件，所以，解得，故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑命题，大部分可转化为集合中的包含关系进行求解.6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.【详解】设这条弦的两端点，斜率为，则：两式相减得：变形得：，又弦中点为：，故故这条弦所在得直线方程为：，即故选：D【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能
4、力，属于中档题.7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解.【详解】设点关于直线的对称点根据题意，为最短距离，先求出的坐标的中点为，直线的斜率为1，故直线的方
5、程为，即由，联立得，则，故，则“将军饮马”的最短总路程为故选：C【点睛】关键点点睛：转化为点关于直线的对称点与原点的距离求解是解题关键.8. 双曲线的左、右焦点分别，为其半焦距长，圆与双曲线的一条渐近线的两个交点分别为坐标原点和点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】设出渐近线的方程，与圆的方程联立求出点的坐标，又由与圆相切，得出关于，的方程，即可解出双曲线的离心率.【详解】解：不妨设一条渐近线方程为，与圆联立，消去化简整理得，解得，代入得，点的坐标为，又与圆相切，直线与直线垂直，即，化简整理得，又代入得，解得，即，双曲线的离心率为2故选：C
6、【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于，的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)二不定项选择题9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据必要不充分条件的概念逐个分析可得答案.【详解】A选项，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，但两个三角形相似未必全等
7、，故不是的必要条件B选项，由，无法推出，如，但是.反之成立，即满足是的必要条件；C选项，由，无法得到，如，时有，但是，反之成立；D选项，若，则，即，反之则，满足是的必要条件故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查必要条件的判断，关键是看由能不能推出，若能，则是的必要条件，若不能，则不是的必要条件.10. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.【详解】所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 即在直线上，圆心
8、距 计算得到 故答案选AB【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.11. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为、，下列结论正确的是（ ）A. 的离心率为B. 的渐近线方程为C. 动点到两条渐近线距离之积为定值D. 当动点在双曲线的左支上时，的最大值为【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线的方程求出、的值，可求得双曲线的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合双曲线的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于双曲线，所以，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A选项正确，B选项
9、错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离之积为，C选项正确；当动点在双曲线的左支上时，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的离心率、渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线几何性质和定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 已知是椭圆长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 直线与斜率之积为定值B. C. 的外接圆半径的最大值为D. 直线与的交点在双曲线上【答案】BCD【解析】【分析】由、是椭圆长轴上的两个顶点设，在椭圆上，直接求解直线与的斜率之积，可
10、得定值；在根据向量坐标的运算即可判断；当在短轴顶点时，可得的外接圆半径的最大值为；设出，求解直线与的交点，满足双曲线，从而可以判断详解】设，则、是椭圆长轴上的两个顶点，则，故不正确由，故正确当在短轴顶点时，由正弦定理：，可得的外接圆半径的最大值；故正确点与点关于轴对称，设，直线的方程为：直线的方程为：两式相乘：可得，由代入化简可得，即直线与的交点在双曲线上；故正确故选：【点睛】本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查平面向量数量积的坐标表示，考查正弦定理，考查设而不求的思想，考查运算能力，属于中档题卷非选择题三填空题13. 若动点与定点的距离和动点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是_【答案】【解析
11、】【分析】本题考查抛物线的定义与方程，主要用于准确落实抛物线的定义，关键在于首先确定点在直线上，然后可判定P在过定点F且与定直线垂直的直线上，从而利用直线的垂直关系求得P的轨迹方程.【详解】因为定点在直线上，所以到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点与直线垂直的直线所以动点的轨迹方程是，即故答案为：【点睛】平面内到定点距离等于到定直线距离的动点的轨迹不一定是抛物线：当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与已知直线垂直的直线，当且仅当定点不在定直线上时，动点的轨迹才是抛物线.对圆锥曲线的概念的掌握一定要准确全面，此题易错误当成抛物线求解.14. 已知圆，直线，则直线截圆
12、所得弦长的最小值为_.【答案】【解析】【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，利用斜率求出参数m，即可由勾股定理求出此时的弦长.【详解】直线l可化为，令，所以直线l恒过定点，易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，圆，圆心，半径为5，又，则，解得， 直线截圆所得弦长的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题.15. 已知，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是_若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设
13、点，利用斜率公式结合条件“直线的斜率与直线的斜率之差是”化简计算可得出点的轨迹方程；设点，利用可求得点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得.【详解】设，则，整理得点的轨迹的方程是，如下图所示：设点、，解得.由抛物线的定义可得.故答案为：；.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了抛物线焦半径长的计算，考查计算能力，属于中等题.16. 已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线、的斜率分别为，则_【答案】0【解析】【分析】可根据题的已知条件，设、，利用斜率公式得到；同理可得，结合三点共线即可得出的值【详解】由题意，可知三点共线、 设、，点在双曲线上，则所
14、以又由点椭圆上，则同理可得三点共线由、得故答案为：0【点睛】本题考查运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想主要思路为结合曲线与点的位置关系、向量关系式，根据斜率公式，列相关关系式化简求解.四解答题17. 若直线的方程为（1）若直线与直线垂直，求的值（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.（2）分成和两种情况，结合直线在两轴上的截距相等求得，由此求得所求直线方程.【详解】（1）直线与直线垂直， ，解得（2）当时，直线化为：不满足题意当时，可得直线与坐标轴的交点，直线在两轴上的截距相等，解得：该直线
15、的方程为，即.18. 已知直线截圆所得的弦长为直线的方程为（1）求圆的方程；（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l1恒过定点P（1,1），设MN的中点Q（x，y），由已知可得，利用两点间的距离公式化简可得答案.【详解】（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，则圆心到直线l的距离，若直线截圆所得的弦长为，则有，解可得，则圆的方程为；（2）直线l1的方程为，即，则有，解得，即P的坐标为（1，1），点
16、在圆上，且，为线段的中点，则，设MN的中点为Q（x，y），则，即，化简可得：即为点Q的轨迹方程.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.19. 已知圆(1)求过点的圆的切线方程；(2)点为圆上任意一点，求的最值【答案】(1) 和 (2)的最大值为；的最小值为【解析】【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；(2)本题首先可明确为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切
17、线距离等于半径即可得出结果【详解】(1)因为圆的方程为，即，所以圆心为，半径为，当切线斜率不存在时，因为直线过点，所以直线方程为，即圆心到直线距离，所以直线是圆的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即因为圆心到切线距离等于半径，所以，解得，此时切线方程为，综上所述，过点的圆的切线方程为和(2)因为即，为圆上任意一点，所以即原点到圆上一点的直线的斜率，令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，则有圆心到切线距离等于半径，即，解得或，所以斜率的最大值，斜率的最小，所以的最大值为；的最小值为【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质
18、，若圆与直线相切，则圆心到直线线距离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题20. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且（）求抛物线的标准方程；（）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）设点、，由题意得出，再利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程；（）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.【详解】（I）设点、，则线段中点横坐标为，又，解得.因此，抛物线的标准方程为；（II）由（I）知，抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，联立方程组，消
19、去，得，解得，因此，直线的方程为【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线方程，同时也考查了直线与抛物线综合问题的求解，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值（为坐标原点）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求得，由此求得，从而求得椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长，表示出的面积，利用不等式求出最值即可【详解】（1）由椭圆的定义，可知解得又
20、所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，得，得设，点到直线的距离，当即，时取等；所以面积的最大值为【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线上两点间的距离公式为：1.；2. ；3.若过焦点，也可以使用焦半径公式22. 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：（1）先
21、确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，再由，得，利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：解：（）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）由得依题意，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）从而k-3所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直线PA的方程为令x=0，得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为由，得，所以所以为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.