1、2.3数学归纳法一、非标准1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=1-an+21-a(nN*,a1),在验证n=1时,左边所得的项为()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3答案:B2.用数学归纳法证明“凸n(n3,nN)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1时增加的是()A.2B.C.32D.2解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是:1+2+3=,故选B.答案:B3.利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+12n1(nN*,且n2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是()A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.
2、增加了12k+1和12k+2两项,同时减少了1k这一项D.以上都不对解析:不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k+1k+1+1k+2+12k;当n=k+1时,左端为1k+1+1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2,对比两式,可得结论.答案:C4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假设n=k(kN*)时正确,再推n=k+1时正确B.假设nk(kN*)时正确,再推n=k+2时正确C.假设n=2k+1(kN*)时正确,再推n=2k+3时正确D.假设n=2k-1(kN*)时正确,再推n=2
3、k+1时正确解析:因为n为正奇数,据数学归纳法证题步骤知,第二步应先假设第k(kN*)个正奇数成立,本题即假设n=2k-1(kN*)时正确,再推第k+1个正奇数即n=2k+1时正确.答案:D5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析:对于A项,f(3)9,加上题设可
4、推出当k3时,均有f(k)k2成立,故A项错误.对于B项,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B项错误.对于C项,没有奠基部分,即没有f(8)82,故C项错误.对于D项,f(4)=2542,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D项.答案:D6.用数学归纳法证明1+12+13+12n-11)时,假设当n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.答案:1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+17.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)(n+n)=2n-1(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是.解析:当n=k时,左边=(1+1)
5、(2+2)(3+3)(k+k),当n=k+1时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)+(k+k)(k+1+k+1),比较两式可知,由n=k到n=k+1,左边需添加的因式为(2k+2).答案:2k+28.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为.解析:采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+69.已知数列an的第一项a1=5且Sn-1=an(n2,nN*).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的
6、表达式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式.解：(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想an=52n-2(n2,nN*).(2)证明:当n=2时,a2=522-2=5,猜想成立.假设当n=k时成立,即ak=52k-2(k2,kN*),当n=k+1时,由已知条件和假设有ak+1=Sk=a1+a2+ak=5+5+10+52k-2=5+5(1-2k-1)1-2=52k-1.故n=k+1时,猜想也成立.由可知,对n2,nN*,有an=52n-2,所以数列an的通项an=5,n=1,52n-2,n2,nN*.10.用数学归纳法
7、证明对一切nN*,1+122+132+1n23n2n+1.解：证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=3121+1=1,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+122+132+1k23k2k+1,则当n=k+1时,要证1+122+132+1k2+1(k+1)23(k+1)2(k+1)+1,只需证3k2k+1+1(k+1)23(k+1)2k+3.因为3(k+1)2k+3-3k2k+1+1(k+1)2=34(k+1)2-1-1(k+1)2=1-(k+1)2(k+1)24(k+1)2-1=-k(k+2)(k+1)2(4k2+8k+3)0,所以3k2k+1+1(k+1)23(k+1)2k+3,即1+122+132+1k2+1(k+1)23(k+1)2(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切nN*都成立.