1、12.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P1115，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？ (2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？ (3)如何求三角函数的定义域？ (4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？ (5)诱导公式一是什么？ 1任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做的正弦，记作sin ，即sin y余弦x叫做的余弦，记作cos ，即cos x正切叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数
2、，将它们统称为三角函数点睛三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定2三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦3诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等点睛诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若720，则cos cos .()(2)若si
3、n sin ，则.()(3)已知是三角形的内角，则必有sin 0.()答案：(1)(2)(3)2若sin 0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C3已知角的终边与单位圆的交点P，则sin cos ()A BC D答案：B4sin_，cos_.答案：三角函数的定义及应用典例设a0，角的终边与单位圆的交点为P(3a,4a)，那么sin 2cos 的值等于()ABC D解析点P在单位圆上，则|OP|1.即1，解得a.a0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论活学活用
4、1如果的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，那么sin 的值等于()A BC D解析：选C由题意知P(1，)，所以r 2，所以sin .2已知角的终边过点P(12，a)，且tan ，求sin cos 的值解：根据三角函数的定义，tan ，a5，P(12,5)这时r13，sin ，cos ，从而sin cos .三角函数值符号的运用典例(1)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)设是第三象限角，且cos，则所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析(1)由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象
5、限，也可能与y轴的负半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限(2)是第三象限角，2k2k，kZ.kk.在第二、四象限又cos ，cos 0.在第二象限答案(1)D(2)B对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理活学活用1设ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是()Atan A与cos B Bcos B与sin CCsin C与tan A Dtan与sin C解析：选D0A，0，tan0；又0C，sin C0.2若角是第二象限角，则点P(sin ，co
6、s )在第_象限解析：为第二象限角，sin 0，cos 0.P(sin ，cos )位于第四象限答案：四诱导公式一的应用典例计算下列各式的值：(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)sincostan 4.解(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 45cos 30cos 60sin 30.(2)原式sincostan(40)sincos0.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤活学活用求下列各式的值：(1)sintan；(2)sin 810cos 360tan 1 125.解：(1)
7、sin tansintansintan1.(2)sin 810cos 360tan 1 125sin(236090)cos(3600)tan(336045)sin 90cos 0tan 451111.层级一学业水平达标1若，则的终边与单位圆的交点P的坐标是()ABC D解析：选B设P(x，y)，角在第二象限，x，y ，P .2若角的终边上一点的坐标为(1，1)，则cos 为()A1 B1C D解析：选C角的终边上一点的坐标为(1，1)，它与原点的距离r，cos .3若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能解析：选Bsi
8、n cos 0，cos 0，则实数a的取值范围是()A(2,3B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即20；是第四象限角，cos0；2 rad2571811436是第二象限角，tan 20.故选B.3若tan x0，且sin xcos x0，则角x的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dtan x0，角x的终边在第二、四象限，又sin xcos x0，角x的终边在第四象限4已知角的终边经过点P(m，6)，且cos ，则m()A8 B8C4 D4解析：选B由题意r|OP|，故cos ，解得m
9、8.5已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析：|OP|.根据任意角三角函数的定义得， ，解得y8.又sin 0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角，y8.答案：86tan 405sin 450cos 750_.解析：原式tan(36045)sin(36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.答案：7判断下列各式的符号：(1)sin 340cos 265；(2)sin 4tan.解：(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)4，4是第三象限角，6，是第一象限角sin 40，sin 4tan0.8已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限(2)若角的终边上一点是M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，所以sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m21，得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin .