1、3.2 函数模型应用举例课堂探究探究一一次或二次函数模型的应用应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大(小)值的问题解答时需遵循的基本步骤是：(1)反复阅读理解，认真审清题意；(2)依据数量关系，建立数学模型；(3)利用数学方法，求解数学问题；(4)检验所得结果，译成实际答案【典型例题1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将月利润表示为月产量的函数f(x)(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)思路分析：由题目可获取以下主要信息
2、：总成本固定成本100x；收益函数为一分段函数解答本题可由已知总收益总成本利润，知利润总收益总成本由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元探究二 指数函数模型的应用递增率问题广泛存在于生产和生活
3、中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题【典型例题2】 截止到2013年底，我国人口约为13.71亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿(1)求y与x的函数关系式yf(x)；(2)求函数yf(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义思路分析：解答本
4、题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题解：(1)2013年底人口数：13.71亿经过1年，2014年底人口数：137113.711%13.71(11%)(亿)经过2年，2015年底人口数：1371(11%)13.71(11%)1%13.71(11%)2(亿)经过3年，2016年底人口数：1371(11%)213.71(11%)21%13.71(11%)3(亿)经过的年数与(11%)的指数相同经过x年后人口数为13.71(11%)x(亿)yf(x)13.71(11%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.此问题以年作为时间单位，x|xN*是此函数的定义域(3)yf(x)1
5、3.71(11%)x.11%1,13.710，yf(x)13.71(11%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长规律总结1.本题涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式2在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型探究三对数函数模型的应用直接以对数函数为模型的应用问题不是很多此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解【典型例题3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2
6、，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路分析：由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2，解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得v5log25log2815(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.探究四 易错分析易错点因对图形信息理解不准确导致解答错误【典型例题4】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动
7、，其位移y(km)和运动时间x(h)(0x5)的关系如图所示，给出以下说法：甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；当甲、乙运动了3 h后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处其中正确的说法是()A BC D错解：和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3515(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A.错因分析：本题的图象给我们的信息是，甲、乙的运动时间以及运动位移，通过图象可知甲、乙的出发点不同、速度不同，一是由于忽视甲、乙的出发点不同而导致错解；二是忽略了位移是跟速度与时间相关的，在相同的时间内，同一方向上速度快的位移大正解：和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3515(km)，乙的位移为3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以正确，故选D.答案：D