1、第2讲 复数的概念及运算 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念 (1)形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是复数的实部和虚部.若 b0，则 abi 为实数；若 b0，则 abi为虚数；若 a0，且 b0，则 abi 为纯虚数.(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR).(3)abi 的共轭复数为 abi(a，bR).(4)复数 zabi(a，bR)与复平面内的点 Z(a，b)一一对应.注意：任意两个复数全是实数时能比较
2、大小，其他情况不能比较大小.(5)复数 zabi(a，bR)的模为|z|a2b2.2.复数的运算复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i；z1z2(acbd)(bcad)i；z1z2acbdbcadic2d2(c2d20).3.常用结论(1i)22i；1i1ii；inin1in2in30(nZ).2.(2017 年新课标)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1i)2C.(1i)2B.i2(1i)D.i(1i)1.(2018 年新课标)设 z1i1i2i，则|z|()A.0 B.12C.1 D.2CC3.(2016 年新课
3、标)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a()A.3B.2C.2D.34.(2016 年新课标)设 x(1i)1yi，其中 x，y 为实数，则|xyi|()A.1 B.2 C.3 D.2AB解析：因为 x(1i)1yi，所以 xxi1yi.解得 x1，yx1.|xyi|1i|.故选 B.25.(2015 年新课标)已知复数 z 满足(z1)i1i，则 z()CA.2iC.2iB.2iD.2i故选 C.解析：(z1)i1i，z12ii12iii22i.6.(2015 年新课标)设复数 z 满足1z1zi，则|z|()A.1 B.2 C.3 D.2A解析：由1z1zi，得
4、z1i1i 1i1i1i1i i.故|z|1.故选 A.考点 1 复数的概念例 1：(1)(2016 年天津)i是虚数单位，复数 z 满足(1i)z2，则 z 的实部为_.解析：(1i)z2z 21i1i，所以 z 的实部为 1.答案：1(i2)2i.实部(2)(2018 年江苏)若复数 z 满足 iz12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_.解析：iz12i，z12ii12iiii为 2.答案：2(3)若复数 z 满足(34i)z|43i|，则 z的虚部为()A.4 B.45 C.4 D.45答案：D解析：(34i)z|43i|5，则 z534i534i34i34i534i25354
5、5i，其虚部为45.(4)(2018 年浙江)复数 21i(i 为虚数单位)的共轭复数是()A.1iC.1iB.1iD.1i21i解析：21i1i1i21i21i.共轭复数是 1i.答案：B(5)已知 i 为虚数单位，现有下面四个命题.p1：复数 z1abi 与 z2abi(a，bR)在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数 z 满足(1i)z1i，则 z 为纯虚数；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z2 z1；p4：若复数 z 满足 z210，则 zi.其中的真命题为()A.p1，p4 B.p2，p4C.p1，p3 D.p2，p3【规律方法】(1)复数abi(a，bR)的虚
6、部是b 而不是bi；(2)复数zabi(a，bR)，当b0 时，z 为虚数；当b0 时，z 为实数；当 a0，b0 时，z 为纯虚数.解析：对于 p1z1 与 z2 关于虚轴对称，所以 p1 错误；对于p2：由(1i)z1iz1i1ii，则 z 为纯虚数，所以 p2 正确；对于 p3：若 z12，z23，则 z1z26，满足 z1z2R，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以 p3 不正确；p4 正确.答案：B考点 2 复数的模及几何意义例 2：(1)(2017 年新课标)复平面内表示复数 zi(2i)的点位于()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限解析：zi(2i)12i，点(1，
7、2)位于第三象限.故选 C.答案：CA.12iC.32iB.12iD.32i(2)(2016年新课标)设复数z满足zi3i，则 z()解析：由 zi3i，得 z32i.所以 z 32i.故选 C.答案：C(3)(2016 年新课标)若 z43i，则z|z|()A.1 B.1C.4535i D.4535i答案：D解析：z|z|43i42324535i.故选 D.(4)(2016 年新课标)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A.(3,1)C.(1，)B.(1,3)D.(，3)解析：要使复数 z 对应的点在第四象限，则应满足解得3m0，m10.A.
8、第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)(2018 年北京)在复平面内，复数 11i的共轭复数对应的点位于()答案：D解析：复数 11i1i1i1i1212i.共轭复数对应的点为12，12，位于第四象限.【规律方法】(1)复数与其共轭复数的模相等，即|z|z|a2b2.(2)共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：z1z2 z1 z2；z1z2 z1 z2；z z|z|2|z|2；|z1|z2|z1z2|z1|z2|；|z1z2|z1|z2|；z1z2|z1|z2|.考点 3 复数的四则运算例 3：(1)(2017 年山东)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi1i，则 z2
9、()A.2iB.2iC.2D.2答案：A解析：zi1iz1ii z21ii22i.(2)(2015 年新课标)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A.1B.0C.1D.2解析：由已知，得 4a(a24)i4i.所以 4a0.a244.解得 a0.故选 B.答案：B3i 3i1i(3)(2017 年新课标)3i(1i)A.12iB.12iC.2iD.2i解析：由复数除法的运算法则有：1i 22i.故选 D.答案：D(4)(2018 年新课标)(1i)(2i)()A.3iC.3iB.3iD.3i解析：(1i)(2i)22iii23i.答案：D(5)(2018 年新课标)12i12
10、i()A.4535i B.4535iC.3545i D.3545i答案：D解析：12i12i12i212i12i34i53545i.(6)已知 i 是虚数单位，若 z 3i3i，则复数 z2017()A.1 B.1 C.12 32 i D.12 32 i答案：C解析：z 3i3i12 32 i，又 z31，所以 z2017z67231z12 32 i.【规律方法】复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i；z1z2(acbd)(bcad)i；z1z2acbdbcadic2d2(c2d20).复数的运算要做到细心准确.复数的除法是
11、重中之重！易错、易混、易漏对复数概念理解不透彻致误例题：(1)设 z1ai(aR)，若 z(2i)为实数，则 a()A.2 B.12 C.1 D.2答案：B解析：z1ai1ai，z(2i)(1ai)(2i)a2(2a1)iR，所以 2a10，a12.(2)已知复数 z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若(2i)z1ii2i3i2018(其中i是虚数单位)，则复数z2的虚部等于()A.15 B.15C.35 D.15i解析：因为 in(nN*)的取值呈现周期性，周期为 4，ii2i3i4i1i10，所以(2i)z1ii2i3i2018ii21i.所以 z11i2i 3i5.所以 z23i5.所以 z2 的虚部等于15.答案：A(3)设mR，m22m3(1m2)i是纯虚数，其中i是虚)数单位，则 m(A.3 或1C.1B.3D.1解析：由已知 m22m30且1m20，得m3.答案：B