1、七校联合体2021届高三第一次联考读卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案排号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选择中.只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则满足的集合B的个数是（ ）A.1B.3C.4D
2、.82.已知，其中m，n是实数，i是虚数单位，则（ ）A.B.C.D.3.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是（ ）A.B.C.D.4.已知向量，是不平行于x轴的单位向量，且，则（ ）A.B.C.D.5.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A.B.C.162D.5406.己知是周期为2的奇函数，当时，.设，（ ）A.B.C.D.7.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）A.1B.C.D.28.有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱，卡车
3、乙不能运D箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（ ）A.168B.84C.56D.42二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分.9.下列四个条件中，p是q的充分条件的是（ ）A.：，：B.：为双曲线，：C.：，：D.：，：10.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为.并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.的最大值为D.的最大值为11.如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A.A、M、N、B四点共面
4、B.平面C.直线与所成角的为60D.平面平面12.四边形内接于圆O，下列结论正确的有（ ）A.四边形为梯形B.四边形的面积为C.圆O的直径为7D.的三边长度可以构成一个等差数列第卷三、填空题：本题共4小题每小题5分，其中第16题共两空答对一空得3分，答对两空得5分13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为_.14.若随机变量，且，则_.15.设函数，若是偶函数，则_.16.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，则球的半径等于_，球的表面积等于_.四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答题写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数
5、列的前n项和为（，），（1）求q的值；（2）若与的等差中项为14，且满足，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）如图，D是直角斜边上一点，记，.（1）求的值.（2）若，求的值.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值.20.（本小题满分12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、.已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产
6、品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.（1）求、的概率分布和数学期望、；（2）当时，求p的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形面积为2离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线l的方程.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求m的取值范围.七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月
7、）数学答案第卷选择题题号123456789101112答案CACBADBDBCADCDABD7.解析因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小.因为直线的斜率等于1，曲线的导数.令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点P到直线的最小距离为，故选：B8.分两类：甲运D箱，有种；甲不运D箱，有.不同的分配方案共有（种），选（D）.9.解：A.p不是q的充分条件，也不是必要条件；B.p是q的充分条件，不是必要条件；C.p是q的充要条件；D.必要不充分 答案BC10.答案AD由题意得11.答案CD（1）由图显然、是异面直线，故A、M、N、
8、B四点不共面，故A错误；（2）平面，显然与平面不平行，故B错误（3）取的中点O，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；（4）由题意平面，故平面平面，故D正确；12.答案ABD【解析】，可证显然不平行即四边形为梯形，故A正确；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故B正确.在中由余弦定理可得圆的直径不可能是7，故C错误；在中，满足的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确；第卷 非选择题13.解：双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则，14.解：随机变量所以正态曲线关于对称所以15.解析：，则为偶函数，.16.的外接圆半径为，球的半径为，表面积为17.解：当时，当时是等差数列，（）解：是等差数列，
9、又，即是等比数列.所以数列的前n项和18.解：（1）.（2）在中，根据正弦定理即若由（1）得即又因为在直角中.19.证明：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则，即，（2）由（）得，.设平面的法向量为，则由，得即取，得易知平面与平面的一个法向量分别为与.，即.由于，解得，即为所求. （解法二）证明：如图1，连接、，由底面是正方形可得.平面，是在平面上的射影，（）如图1，由平面知，平面，平面，.又底面是正方形，而，平面.连接、，过点D在平面内作于F，连接，则，故是二面角的平面角，即，在中，在中，从而在中，.即由，解得，即为所求.20.（）解法1：的概率分
10、布为1.21.181.17.由题设得，则的概率分布为012故的概率分布为1.31.250.2所以的数学期望为.（）由，得：因，所以时，p的取值范围是.解法2：的概率分布同解法一：的概率分布解法如下设表示事件“第i次调整，价格下降”（），则故的概率分布为1.31.250.2所以的数学期望为.21.解：设椭圆方程为（1）由已知得所求椭圆方程为.（）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由，消去y得关于x的方程：由直线l与椭圆相交于A、B两点，解得又由韦达定理得原点O到直线l的距离.解法1：令，则，当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为解法2：对两边平方整理得：（*），整理得：又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为：.解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1：.下同解法一.解法2：下同解法一.22.【解析】（1）.当时，恒成立，所以在R单调递增，当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，令，得；令，得.所以，所以.取，则，即，所以.设，因为，所以方程必有解，所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为.