1、立体几何初步(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1菱形ABCD在平面内，PC，则PA与对角线BD的位置关系是()A平行B相交但不垂直C相交垂直 D异面垂直解析：选DPC平面，BD平面，PCBD.又在菱形ABCD中，ACBD，PCACC，BD平面PAC.又PA平面PAC，BDPA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是()A等边三角形 B矩形C等腰梯形 D以上都有可能解析：选D当点Q与点D1重合时，截
2、面图形为等边三角形AB1D1，如图；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图.3已知直线PG平面于点G，直线EF，且PFEF于点F，那么线段PE，PF，PG的长度的大小关系是()APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG解析：选CRtPFE中，PEPF，RtPGF中，PFPG，所以PEPFPG.4已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A，且lB，且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线
3、，m平面，n平面，则平面与平面必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，l，l，则交线平行于l，故选D.5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，VA1BCD()A60 B30C20 D10解析：选DVA1BCD35410.6底面半径为 ，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为()A6 B12C8 D16解析：选D由题意，圆锥轴截面的顶角为120，设该圆锥的底面圆心为O，球O的半径为R，则OOR1，由勾股定理可知R2(R1)2()2，R2，球O的表面积为4R216.故选D.7如图所示，在ABC中，ADBC，ABD的面积是ACD的面积的2倍，沿AD将ABC翻折，使翻折后B
4、C平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A30 B45C60 D90解析：选C由已知BD2CD，翻折后，在RtBCD中，BDC60，而ADBD，CDAD，故BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60.故选C.8.过空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角(0360)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内则这个八面体的旋转轴共有()A7条 B9条C13条 D14条解析：选C由对称性结合题意可知，过EF，AC，BD的直线为旋转轴，共3条，此时旋转角最小为90；过正方形ABCD，AECF
5、，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角最小为180；过八面体相对面中心的直线为旋转轴，共4条，此时旋转角最小为120.综上，这个八面体的旋转轴共有13条故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9a，b为不重合直线，为平面，下列结论正确的是()A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若a，b，则ab解析：选AC若a，b，由直线与平面垂直的性质可得ab，故A正确；若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故B错误；若b，则b垂直于内的所有直线
6、，b也垂直于平行于的所有直线，又a，可得ab，故C正确；若a，b，则ab或a与b异面，故D错误故选A、C.10.如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是()APC平面OMNB平面PCD平面OMNCOMPAD直线PD与直线MN所成角的大小为90解析：选ABC连接AC(图略)，易得PCOM，所以PC平面OMN，故A正确；同理PDON，所以平面PCD平面OMN，故B正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，故C正确；由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以M
7、NAB.又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即PDC.又PDC为等边三角形，所以PDC60，故D错误11.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是()A直线A1C1与AD1为异面直线BA1C1平面ACD1CBD1ACD三棱锥D1ADC的体积为解析：选ABC对于A，直线A1C1平面A1B1C1D1，AD1平面ADD1A1，D1直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1AC，A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，所以A1C1平面ACD1，故B正确；对于C，连
8、接BD(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACDD1，BDDD1D，所以AC平面BDD1，所以BD1AC，故C正确；对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC222，故D错误故选A、B、C.12.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是()A存在某个位置，使得CNAB1B翻折过程中，NC的长是定值C若ABBM，则AMB1DD若ABBM1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4解析：选BD对于A，如图，取AD中点E，连接EC交MD于F，连接NE
9、，NF，则NEAB1，NFMB1，如果CNAB1，AB1MABM90，可得到ENNF，又ENCN，且三线NE，NF，NC共面共点，CNAB1不可能，故A错误；对于B，如图，易得NECMAB1(定值)，NEAB1(定值)，ECAM(定值)，在NEC中，由余弦定理可得NC2NE2EC22NEECcosNEC，NC的长是定值，故B正确；对于C，如图，取AM中点O，连接B1O，DO，假设AMB1D成立，由ABBM知B1DAM，易得AM平面ODB1，即可得ODAM，从而ADMD，由题意不成立，故C错误；对于D，当平面B1AM平面AMD时，三棱锥B1AMD的体积最大，易得AD的中点就是三棱锥B1AMD外接
10、球的球心，球半径为1，表面积是4，故D正确故选B、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于_解析：易知所得圆锥的母线长为2，底面周长为2，故底面半径为1，所以该圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，其面积为.答案：14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为_解析：如图，连接A1C1，BC1，A1B.M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，MNBC1.又A1C1AC，A1C1B为异面直线AC与MN所成的角或其补角A1BC1为正三角
11、形，A1C1B60.答案：6015.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_，圆柱的表面积与球的表面积之比为_解析：由题意，圆柱底面半径r球的半径R，圆柱的高h2R，则V球R3，V柱r2hR22R2R3.S球4R2，S柱2r22rh2R22R2R6R2.答案：16已知三棱锥PABC的体积为8，且AB6，ACBCAPBP5，则CP的长为_解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，易知ABCD，ABPD，又PDCDD且PD，CD平
12、面PCD，所以AB平面PDC.因为AB平面ABC，所以平面ABC平面PCD，那么P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离依题意可得CD4，PD4，SABCABCD12，所以V三棱锥PABCSABCPDsinPDC8，解得sinPDC，所以cosPDC，在PDC中，由余弦定理可得cosPDC，解得CP4或CP4.答案：4或4四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1. E是A
13、A1的中点，EQ綉A1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，EQ綉B1C1，四边形EQC1B1为平行四边形B1E綉C1Q.又Q，F是DD1，C1C两边的中点，QD綉C1F.四边形QDFC1是平行四边形C1Q綉DF，B1E綉DF.四边形B1EDF是平行四边形18(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE，AEEBBC2，BF平面ACE于点F，且点F在CE上(1)求证：AEBE；(2)求三棱锥DAEC的体积解：(1)证明：由题意知，AD平面ABE，且ADBC，BC平面ABE.AE平面ABE，AEBC.BF平面ACE，且AE平面ACE，BFAE，又BCBFB，AE
14、平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)在ABE中，过点E作EHAB于点H(图略)AD平面ABE，且AD平面ACD，平面ACD平面ABE，又平面ACD平面ABEAB，EH平面ABE，EH平面ACD.由已知及(1)得EHAB，SADC2.故VDAECVEADC2.19(本小题满分12分)如图，ABC是边长为2的正三角形，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BDCD，BDCD，且AE1.(1)求证：AE平面BCD；(2)求证：平面BDE平面CDE.证明：(1)如图，取BC的中点M，连接DM，AM.因为BDCD，且BDCD，BC2，所以DM1，DMBC.又平面BCD平面ABC，平面BCD平面
15、ABCBC，所以DM平面ABC.又AE平面ABC，所以AEDM.又DM平面BCD，AE平面BCD，所以AE平面BCD.(2)由(1)知AEDM，又AE1，DM1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DEAM.因为ABC为正三角形，所以AMBC.又平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABCBC，所以AM平面BCD，所以DE平面BCD.又CD平面BCD，所以DECD.因为BDCD，BDDED，所以CD平面BDE.因为CD平面CDE，所以平面BDE平面CDE.20(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，ABCD，AB2CD，BAD90，PACD，E，F分别为棱PB，PA的中点
16、(1)求证：平面PAB平面EFDC；(2)若AD2，直线PC与平面PAD所成的角为45，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：PAD为正三角形，F为棱PA的中点，PADF.又PACD，CDDFD，PA平面EFDC，又PA平面PAB，平面PAB平面EFDC.(2)ABCD，PACD，PAAB.又ABAD，PAADA，AB平面PAD，CD平面PAD，CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即CPD45，CDPDAD2.又AB2CD，AB4，S直角梯形ABCDAD(CDAB)2(24)6.又AB平面PAD，AB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.过P作POAD，垂足为O(图略)，则PO平面ABCD
17、.PAD为正三角形，POAD2，V四棱锥PABCDPOS直角梯形ABCD62.21(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小解：(1)证明：如图所示，连接BD.四边形ABCD是菱形且BCD60，BCD是等边三角形E是CD的中点，BECD.ABCD，BEAB.PA平面ABCD，BE平面ABCD，PABE.PAABA，BE平面PAB.又BE平面PBE，平面PBE平面PAB.(2)由(1)知BE平面PAB，PB平面PAB，PBBE.又ABBE，PBA是二面
18、角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，PBA60，故二面角ABEP的大小是60.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM；(2)求证：AC1平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，连接AB1交A1B于O，连接OM.在B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OMB1C.又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.(2)证明：因为侧棱AA1
19、底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM.因为M为棱AC的中点，ABBC，所以BMAC.又AA1ACA，所以BM平面ACC1A1，所以BMAC1.因为M为棱AC的中点，AC2，所以AM1.又AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA，所以AC1CA1MA，所以AC1CC1ACA1MAC1AC90，所以A1MAC1.因为BMA1MM，所以AC1平面A1BM.(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C.设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，所以BNCC1，且BNCC1，所以DMBN，且DMBN，所以四边形BMDN为平行四边形，所以BMDN.因为BM平面AA1C1C，所以DN平面AA1C1C.又DN平面AC1N，所以平面AC1N平面AA1C1C.