1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1复数z=（i为虚数单位），则|z|（） A 25 B C 5 D 2设函数，则其导函数f（x）是（） A 最小正周期为2的奇函数 B 最小正周期为2的偶函数 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的奇函数3已知圆C：（xa）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4如果等差数列an中，
2、a1=11，则S11=（） A 11 B 10 C 11 D 105若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（） A 4 B 3 C 2 D 16执行如图的程序框图，则输出的是（） A 4 B 2 C 0 D 2或07若x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（） A B 3 C D 48函数 f（x）=cos3x+sin2xcosx的最大值是（） A B 1 C D 29已知M=+，则M=（） A B C D 10已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（） A B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号位置上答错位置，书写不
3、清，模棱两可均不得分11设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）=0.68，则P（X4）=12一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为13在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是14已知曲线：=，R与曲线C：，tR相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|OB|=15在ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：若ABC，则sinAsinBsinC；若，则ABC为等边三角形；若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则ABC为钝角三角形；存在A，B
4、，C，使得tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC成立其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosxcos2x，xR求：（） 函数f（x）的单调增区间；（）若，求函数f（x）的值域17某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验（）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实
5、验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CDA=90，PA平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点（1）证明：直线NC平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值（3）求三菱锥PMNC的体积V19已知函数，（x0），又数列an中，an0，a1=2，该数列的前n项和记为Sn，对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn1）（）求an的通项公式；（）记bn=，bn其前n项和为Tn，证明
6、：Tnn+120已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是（）求此椭圆的方程；（）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线21设函数f（x）=xlnx（） 求f（x）的极值；（）设g（x）=f（x+1），若对任意的x0，都有g（x）mx成立，求实数m的取值范围；（）若0ab，证明：0f（a）+f（b）2f（）（ba）ln22015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目
7、要求的1复数z=（i为虚数单位），则|z|（） A 25 B C 5 D 考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模专题： 数系的扩充和复数分析： 化简复数z，然后求出复数的模即可解答： 解：因为复数z=，所以|z|=故选C点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力2设函数，则其导函数f（x）是（） A 最小正周期为2的奇函数 B 最小正周期为2的偶函数 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的奇函数考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 函数=cos2x，利用导数的运算法则、函数的奇偶性周期性即可得出解答： 解：函数=cos2x，则其导函数f（x）=2
8、sin2x，T=，f（x）=2sin2x=f（x），其导函数f（x）是最小正周期为的奇函数故选：D点评： 本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性周期性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知圆C：（xa）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 如图所示，C与直线l若C上恰有不同四点到l的距离为，可得，即可判断出解答： 解：如图所示，C与直线l若C上恰有不同四点到l的距离为，则，“”是“C上恰有不
9、同四点到l的距离为”的必要不充分条件故选：B点评： 本题考查了充要条件的判定方法、直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法，属于基础题4如果等差数列an中，a1=11，则S11=（） A 11 B 10 C 11 D 10考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等差数列的前n项和Sn，可知，结合求得公差，然后再由求得答案解答： 解：由，得，由，得=2，a1=11，解得d=2，=11+52=1，S11=11，故选：A点评： 本题主要考查等差数列的求和公式属基础题5若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（） A 4 B 3 C 2 D 1考点： 简单线性规划专题
10、： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=21+1=3即目标函数z=2x+y的最大值为3故选：B点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6执行如图的程序框图，则输出的是（） A 4 B 2 C 0 D 2或0考点： 程序框图专题： 计算题；图表
11、型分析： 根据框图给出的向量和向量的坐标及的值，运用向量的数乘及坐标的加法运算求出的坐标，再求数量积，数量积为0，则两向量垂直，算法结束，输出的值，否则，执行=+1，再判断执行，直至数量积为0结束解答： 解：由，当=4时，此时40+（2）10=200，所以与不垂直，故执行=4+1=3，此时41+（2）7=100，所以与不垂直，故执行=3+1=2，此时42+（2）4=0，与垂直，算法结束，输出的值为2故选B点评： 本题考查了程序框图中的当型循环，考查了运用向量数量积判断两向量是否垂直，若非零向量，则x1x2+y2y2=0，此题是中低档题7若x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（
12、） A B 3 C D 4考点： 基本不等式专题： 不等式分析： 首先分析题目由已知x0，y0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b2 代入已知条件，化简为函数求最值解答： 解：考察基本不等式x+2y=8x（2y）8（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）320即（x+2y4）（x+2y+8）0，又x+2y0，所以x+2y4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是 4，故选：D点评： 本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题8函数 f（x）
13、=cos3x+sin2xcosx的最大值是（） A B 1 C D 2考点： 三角函数的最值专题： 三角函数的求值分析： 化简已知函数换元可得y=t3t2t+1，t1，1，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得解答： 解：化简可得f（x）=cos3x+sin2xcosx=cos3x+1cos2xcosx令cosx=t，则t1，1，换元可得y=t3t2t+1，t1，1，求导数可得y=3t22t1=（3t+1）（t1），令y=（3t+1）（t1）0可解得t1，令y=（3t+1）（t1）0可解得t或t1，函数y=t3t2t+1在（1，）上单调递增，在（，1）上单调递减，当t=时，y取
14、最大值故选：C点评： 本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题9已知M=+，则M=（） A B C D 考点： 数列的求和专题： 计算题；导数的综合应用分析： 由二项式定理得到，两边求定积分得答案解答： 解：由，得：=，即=+，M=+=，故选：A点评： 本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题10已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（） A B C D 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点
15、Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标： P（x，y），M（x，y），A（a，0），B（a，0），Q（0，），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出|范围解答： 解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，Q点在y轴上；设P（x，y），M（x，y），A（a，0），Q（0，）；PAB为Rt；|PO|=|a|，又0；=；的取值范围为故选：C点评： 考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式二、填空题：本大题共5小题，每
16、小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）=0.68，则P（X4）=0.16考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题： 计算题；概率与统计分析： 根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2X4）的概率可求出P（X4）解答： 解：P（3X4）=P（2X4）=0.34，观察图得，P（X4）=0.5P（3X4）=0.50.34=0.16故答案为：0.16点评： 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题12一个几何体的
17、三视图如图，则这个几何体的表面积为（8+2）cm考点： 由三视图求面积、体积专题： 立体几何分析： 首先根据三视图把几何体的立体图复原出来进一步利用表面积公式求出结果解答： 解：根据三视图得知：该几何体为底面是直角边长为2cm和1cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱则：S表=S侧+2S底=8+2故答案为：（8+2）cm点评： 本题考查的知识要点：三视图和几何体的关系，几何体的表面积公式的应用主要考查学生的应用能力和空间想象能力13在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是49考点： 计数原理的应用；棱柱的结构特征专题： 计算题；概率与统计
18、分析： 根据题意，结合正方体的结构特征，分3种情况讨论：、三点都在正方体的棱上，、以6个面的中心为中点，、以正方体的中心为中点，分别求出每种情况下三点共线的情况数目，由分类计数原理计算可得答案解答： 解：根据题意，在所给的正方体的27个点中，三点共线的情况有3种：、三点都在正方体的棱上，正方体有12条棱，即有12种情况；、以6个面的中心为中点，正方体有6个面，每个面有4种情况，共有46=24种情况，、以正方体的中心为中点，共有262=13种情况，则共有12+24+13=49种，即共线的三点组的个数是49；故答案为：49点评： 本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于掌握正方体的结构特点并判断
19、三点共线的情况14已知曲线：=，R与曲线C：，tR相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|OB|=考点： 参数方程化成普通方程专题： 坐标系和参数方程分析： 首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果解答： 解：曲线：=，R转化成：，转化成直角坐标方程为：，整理得：3x2+4y26x9=0，曲线C：，tR转化为直角坐标方程为：y=，所以：，解得：或所以：|OA|=2，则：|OA|OB|=故答案为：点评： 本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两
20、点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力15在ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：若ABC，则sinAsinBsinC；若，则ABC为等边三角形；若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则ABC为钝角三角形；存在A，B，C，使得tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC成立其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析： 已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；已知等式利用正弦函
21、数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（C）=tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误解答： 解：ABC，abc，又=2R，sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，sinAsinBsinC，此选项正确；=，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入，得=，=，即tanA=tanB=tanC，A=B=C，则ABC是等边三角形，本选项正确；sin2A
22、=sin2B，2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，则ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1tanAtanB，=1，即tan（A+B）=1，A+B=，即C=，则ABC为钝角三角形，本选项正确；若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角，A+B=C，tan（A+B）=tan（C），即=tanC，则tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即错误，故答
23、案为：点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosxcos2x，xR求：（） 函数f（x）的单调增区间；（）若，求函数f（x）的值域考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： （）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间（）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域解答： 解：（
24、I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosxcos2x=，xR令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（kZ）（ II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域主要考查学生的应用能力17某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验（）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子）
25、，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件专题： 计算题分析： （I）本题是一个独立重复的实验，利用n次对立重复实验恰好发生k次的概率公式与互斥事件的概率求出他们的实验至少有3次成功的概率；（II）依题意判断出随机变量可取的值及取每一个值的概率值，列出分布列，根据期望的公式求出这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望解答： 解：（）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：（4分）（）依题意有： 1 2 3 4 5P （4分）点评
26、： 本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CDA=90，PA平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点（1）证明：直线NC平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值（3）求三菱锥PMNC的体积V考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法专题： 空间位置关系与距离分析： （1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ
27、，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NCDQ，再由线面平行的判断得答案；（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥CPMN的体积，即三菱锥PMNC的体积V解答： （1）证明：如图，取PA中点Q，连接NQ，DQ，N、Q分别为PB、PA的中点，NQAB，NQ=，又DCAB，DC=，NQDC，NQ=DC，则四边形DCNQ为平行四边形，NCDQ，DQ面PAD，NC面PAD，直线NC平面PAD；（2）解：连接BD，
28、M、N分别为PD、PB中点，MNBD，过C作lBD，则MNl，平面MNC平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，CSl，连接MC，则MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，PA=AD=AB=2，CD=1，MS=1，SC=，则MC=，cos；（3）解：设SCBD=R，由题意可得：SR=CR，C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，设A到平面PMN距离为h，由PAABAD，PA=AD=AB=2，则由等积法得：h，解得h=，C到平面PMN的距离为，又三角形PMN为边长是的正三角形，点评： 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几
29、何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题19已知函数，（x0），又数列an中，an0，a1=2，该数列的前n项和记为Sn，对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn1）（）求an的通项公式；（）记bn=，bn其前n项和为Tn，证明：Tnn+1考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （）由，Sn=f（Sn1）知：，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出an（）bn=，利用“裂项求和”即可得出解答： （）解：由，Sn=f（Sn1）知：，又an0，a1=2，Sn0，即：是以为首项，为公差的等
30、差数列，当n2时，an=SnSn1=4n2，当n=1时也成立，an=4n2（）证明：=，Tn=n+1点评： 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是（）求此椭圆的方程；（）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程专题： 综合题分析： （I）由题意设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，
31、0）利用的取值范围所以PCQ的平分线垂直于x轴是，得到a，b的方程，求解即可；（II）有的平分线平行，所以PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证解答： 解：（）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），其中，从而由于，即又已知，所以从而椭圆的方程是（）因为的平分线平行，所以PCQ的平分线垂直于x轴由解得不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为k，因此PC和QC的方程分别为y=k（x1）+1，y=k（x1），其中消去y并整理得（1+3k2）x26k（k1）x+3k26k1=0（*）C（
32、1，1）在椭圆上，x=1是方程（*）的一个根从而，同理，从而直线PQ的斜率为又知A（2，0），B（1，1），所以，向量与共线点评： （I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式21设函数f（x）=xlnx（） 求f（x）的极值；（）设g（x）=f（x+1），若对任意的x0，都有g（x）mx成立，求实数m的取值范围；（）若0ab，证明：0f（a）+f（b）2f（）（ba）ln2考点： 利用导数研究函数的极
33、值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的概念及应用；导数的综合应用分析： （）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；（）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；（）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题解答： 解：（）f（x）=1+lnx，（x0）令f（x）=0，解得：，且当时，f（x）0，时，f（x）0，因此：f（x）的极小值为；（）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），令h（x）=（x+1）ln（x+1）mx，则h（x）=ln（x+1）+1m，注意到：h（0）=0，若要h（x）0，必须要求h（0）0，即1m0，亦即m1；另一方面：当m1时，h（x）=ln（x+1）+1m0恒成立；故实数m的取值范围为：m1；（）构造函数，xa，又xa，0a+x2x，F（x）0，F（x）在（a，+）上是单调递增的；故F（b）F（a）=0，即：另一方面，构造函数，G（x）在（a，+）上是单调递减的，故G（b）G（a）=0即：，综上，点评： 本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结高考资源网版权所有，侵权必究！