1、第二章 几个重要的不等式2 排序不等式学习目标重点难点1.了解排序不等式的基本形式2会运用排序不等式解决一些简单问题3体会运用经典不等式的一般思想方法.1.重点是利用排序不等式解决问题2难点是根据题意明确两个数组的大小顺序.阅读教材P32P34“排序不等式”的有关内容，完成下列问题：1定理1 设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbd_，此式当且仅当_时取等号2顺序和、乱序和、逆序和的概念设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1 b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式，通常称_为顺序和，_为乱序和，a1b3a2b2a3b1为逆序和(倒序和)adb
2、c ab(或cd)a1b1a2b2a3b3 a1bj1a2bj2a3bj3 3定理2(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)_(乱序和)_(逆序和)_.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取等号a1b1a2b2anbn a1bj1a2bj2anbjn a1bna2bn1anb1 已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1 2c23c3 的最大值是_，最小值是_.解析：对应关系和备注(1,2,3)(25,30,45)S1a1b1a2b2a3b3220(最大值)
3、顺序和(1,2,3)(25,45,30)S2a1b1a2b3a3b2205乱序和答案：220 180对应关系和备注(1,2,3)(30,25,45)S3a1b2a2b1a3b3215乱序和(1,2,3)(30,45,25)S4a1b2a2b3a3b1195乱序和(1,2,3)(45,25,30)S5a1b3a2b1a3b2185乱序和(1,2,3)(45,30,25)S6a1b3a2b2a3b1180(最小值)逆序和如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和解析：由图可知阴影面积a1b1a2b2，空白面积a1b2a2b1.根据顺序和逆序和
4、，可知答案答案：利用排序不等式证明不等式(1)已知 a，b，c 为正数，abc，求证：1bc 1ca 1ab.(2)已知 a，b，c(0，)，求证：abca2b22cb2c22ac2a22b a3bcb3cac3ab.证明：(1)ab0，1a1b.c0，1c0.1bc 1ca.bc0，1b1c.a0，1a0.1ca 1ab.1bc 1ca 1ab.(2)不妨设 abc，则 a2b2c2，1c1b1a.由排序不等式，得a21cb21ac21ba21ab21bc21c，a21bb21cc21aa21ab21bc21c.()2，得a2b22cb2c22a c2a22b abc.a3b3c3 且 1b
5、c 1ac 1ab，由排序不等式，得a3 1bcb3 1cac3 1aba3 1acb3 1abc3 1bc，a3 1bcb3 1cac3 1aba3 1abb3 1bcc3 1ca.()2，得a3bcb3cac3aba2b22cb2c22a c2a22b.综上，abca2b22cb2c22a c2a22b a3bcb3cac3ab.【点评】(1)利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组(2)在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对
6、称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证1已知 a，b，c(0，)，求证：2a2bc b2ac c2abb2c2bc a2c2ac a2b2ab.证明：由对称性，不妨设 abc0，abacbc.a2b2c2，1bc 1ac 1ab.由排序不等式，得a2bc b2ac c2ab c2bc a2ac b2ab，a2bc b2ac c2ab b2bc c2ac a2ab.两式相加，得2a2bc b2ac c2ab b2c2bc a2c2ac a2b2ab.利用排序不等式求最值设 a，b，c 为任意正数，求 abc bca cab的最小值解：不妨设 abc0，则 abacbc，1bc 1ca 1
7、ab.由排序不等式，得abc bca cab bbc cca aab，abc bca cab cbc aca bab.两式相加，得2abc bca cab 3，即 abc bca cab32，当且仅当 abc 时取等号故 abc bca cab的最小值为32.【点评】利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及逆序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或逆序和2已知 x，y，z 是正数，且 xyz1，求 tx2y y2z z2x的最小值解：不妨设 xyz0，则 x2y2z2，1z1y1x
8、.由乱序和逆序和，得x2y y2z z2xx21xy21yz21zxyz.又 xyz1，则x2y y2z z2x1，当且仅当 xyz13时等号成立故 tx2y y2z z2x的最小值为 1.(1)有A，B，C，D四个人同时去银行同一窗口排队办理业务，办理业务所需时间依次是A需2 min，B需5 min，C需4 min，D需10 min，则四人全部办理完业务总的耗时最长为_min，最短为_min.(2)若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min和 30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元在只能逐台维修的条件下，按照什么样的顺序维修才能使经济
9、损失降到最小？利用排序不等式求解简单的实际问题(1)解析：由排序不等式，知总耗时最长为41035241265(min)，总耗时最短为42342511040(min)答案：65 40(2)解：设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列由排序不等式，知3t12t2t332523045180.所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小【点评】利用排序不等式解决实际生活中的最优化问题，关键是从实际问题中抽象出两个数组，并根据需要得到这两个数组的顺序和、乱序和及逆序和，从而用排序不等式完成解答3有十个人各拿一只水桶到水龙头前打水，设水龙头注满第i桶需要ti min(i1,2，10)若这
10、些ti各不相同，有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使他们的总花费时间(包括等候时间)最少？解：不妨设t1t2t3t10，现有两个水龙头，只要安排t1，t3，t9在一个水龙头，t2，t4，t10在另一个水龙头打水ti越小排得越靠前，则总时间t5t15t24t34t43t53t62t72t8t9t10.这是一个逆序和，故数值最小1在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，在解答问题时，我们可以利用排序不等式的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序不等式，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时，要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题2使用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或代数式)来探求对应项的积的和的大小关系3排序不等式有广泛的应用，许多重要的不等式(如柯西不等式、平均不等式等)都可以由它推得此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具4排序不等式可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两的积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两的积之和最小点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十)谢谢观看！