1、第2讲 等差数列 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_表示.d2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3.等差中项如果 Aab2，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.4.等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn_或
2、Snna1nn12d.na1an25.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).6.等差数列的常用性质 (1)若数列an是等差数列，则数列anp，pan(p是常数)都是等差数列.(2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.Snd2n2a1d2 n.(5)等差数列的单调性：若公差 d0，则数列单调递增；若公差 d0，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最_值.(3)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则Snn 是等差数列.(4)若等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S
3、2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列.小1.(2015 年重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A.1B.0C.1D.6B2.(2015 年新课标)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A.172B.192C.10D.12B解析：公差 d1，S84S4，8a1128744a11243.解得 a112.a10a19d129192.故选 B.3.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A.5B.8C.10D.14B4.(2015 年安徽)已知数列an中，a11，anan112(n2)，则数列an的前 9 项和等于_.27解析
4、：当 n2 时，anan112，且 a2a112，an是以 1 为首项，12为公差的等差数列.S991982 1291827.考点 1 等差数列的基本运算例 1：(1)(2017 年新课标)记 Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1B.2C.4D.8解析：方法一，设公差为 d，a4a5a13da14d2a17d24，S66a1652 d6a115d48，联立2a17d24，6a115d48，解得 d4.故选 C.方法二，因为 S66a1a623(a3a4)48，即 a3a416.所以(a4a5)(a3a4)24168，即 a5a32d8.解得d4.故选
5、 C.答案：C(2)(2016 年新课标)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100()A.100B.99C.98D.97所以a100a199d19998.故选C.答案：C解析：由已知，得9a136d27，a19d8，所以 a11，d1.(3)(2018 年新课标)设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A.12B.10C.10D.12解析：3S3S2S43a12d0，d3.a5a14d21210.故选 B.答案：B(4)(2013 年新课标)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m()A.3B.4C.5D.6解析：因为 S
6、mSm1am2，Sm1Smam13，所以am1amd1.答案：C则Smma1mm1210，Sm1m1a1mm1213.解得 m5.【规律方法】在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn 中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和d是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法.考点 2 等差数列的基本性质及应用例2：(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S101，S305，则S40()A.7B.8C.9D.10 思路点拨：思路1，设等差数列an的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2，设an的前n项和SnAn2B
7、n，由题意列出方程组求得A，B，从而得Sn，进而得S40；思路 3，利用等差数列前 n 项和性质 S10，S20S10，S30S20，S40S30 是等差数列，由前三项求得 S20，从而得此数列的公差，进而求得 S40S30，得 S40；思路 4，利用Snn 是等差数列，由S1010，S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得 S40.解析：方法一，设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则10a11092d1，30a130292d5.解得d 1150，a1 7100.S40 71004040392 11508.故选 B.方法二，设等差数列前 n 项和为 SnAn2Bn，由题意知10
8、0A10B1，900A30B5.解得A 1300，B 115.Sn n2300 n15.S408.故选 B.方法三，由等差数列的性质，知 S10，S20S10，S30S20，S40S30 成等差数列，2(S20S10)S10(S30S20).S20S10S303 15383.d(S20S10)S1023.S40513233.S408.故选 B.方法四，由等差数列的性质，知Snn 是等差数列，S1010，S2020，S3030，S4040，即 110，S2020，16，S4040成等差数列.S40401616 110215.S408.故选 B.答案：B(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34，
9、最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10解析：a1a2a334，an2an1an146，答案：Aa1a2a3an2an1an34146180.又a1ana2an1a3an2，3(a1an)180.a1an60.Snna1an2n602 390.n13.(3)(2018 年吉林百校联盟联考)已知等差数列an的前 n 项和为Sn，若2a11a97，则S25()A.1452B.145C.1752D.175解析：2a11a9a13a97，a137.答案：DS25a1a2525225a13175.故选 D.【规律方法】(1)利用等差数列a
10、n的性质“若 mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”.(2)等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列.(4)可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法.“巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.(3)在等差数列an中，Snn 也是等差数列.【互动探究】1.(2017 年广东深圳第二次调研)在等差数列an中，若前 10项的和S1060，且a77，则a4()A.4B.4C.5D.5解析：方法一，由题意，得10a145d60，a16d7.解得
11、 a13，d23.a4a13d5.故选 C.方法二，S1010a1a10260，a1a1012.答案：C由等差数列的性质有a1a10a7a412.又a77，a45.故选C.考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题例 3：(1)(2013 年新课标)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_.解析：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由等差数列前 n 项和公式可得10a11092d0，15a115142d25，解得a13，d23.nSnn2a1n2n12d3n213(n3n2)13n310n23.(nSn)n220n3.令(nSn)0，解得 n0(舍去)或
12、 n203.当 n203 时，nSn 是单调递增的；当 0n203 时，nSn 是单调递减的，故当 n7 时，nSn 取最小值.(nSn)min13731072349.答案：49(2)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.解析：由等差数列的性质，及a7a8a93a8，得a80.a7a100，a8a90.a90.公差dm，则 SnSm 的最小值为()A.494 B.498 C.14 D.28解析：由 an12n3an2n51，得an12n15an2n51，又 a1255，所以数列an2n5 是以首项为5，公差为 1 的等差数列.则an2n55n1n6.故
13、 an(2n5)(n6)，nN*.因为当且仅当 n3,4,5 时，an0，S20150，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为()A.1006 B.1007 C.1008 D.1009解析：首先由 S20152015a1a201522015a10080，得a10080，即 a1007a10080，所以 a1007a10080，故有|a1007|a1008|.所以绝对值最小的项是第 1008 项，即 k 的值为 1008.答案：C思想与方法利用函数的思想求等差数列的最值例题：在等差数列an中，若a125，S17S9，则Sn的最大值为_.思维点拨：利用前 n 项和公式和二次函数的性质求解.解析：方法一，由S17S9，得解得 d2.由二次函数的性质知，当n13时，Sn有最大值169.2517172(171)d25992(91)d，Sn25nn2(n1)(2)(n13)2169.方法二，先求出 d2，a1250，由an252n10，an1252n1212.当 n13 时，Sn 有最大值.S132513131312(2)169.方法三，由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a130，a140，当n12时，ana2a10a110.所以当n10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155.