1、第2讲 一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.判别式 b24ac 000)与相应的二次函数(a0)及一元二次方程的关系判别式 b24ac 0 00的解集 x|xx2 Rax2bxc0的解集 x|x1xx2 _(续表)x1,2 b2axx b2a b b24ac2a1.(2016 年新课标)设集合Ax|x24x30，则 AB()A.3，32B.3，32 C.1，32D.32，3 D2.不等式ax2xc0的解集为x|2x0，则R
2、A()A.x|1x2B.x|1x2C.x|x2BCD.x|x1x|x24.(2017 年山东)设集合 Mx|x1|1，Nx|x0的解集为_.(用区间表示)解析：由x23x40，得4x0 的解集为(4,1).答案：(4,1)(3)(2016年上海)设xR，则不等式|x3|1的解集为_.解析：由题意，得1x31，即2x0 的解集是_.4)0，所以4x2.答案：x|4x2答案：x1解析：考查分式不等式的解法.2xx40 等价于(x2)(x(5)不等式1x1 的解为_.解析：1x11x101xx 0，解得 x1.【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：化为标准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系
3、数为正；确定判别式的符号；若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.考点 2 含参数不等式的解法例2：(1)解关于x的不等式x2(a1)xa0；(2)解关于x的不等式ax2(a1)x10；(3)解关于x的不等式kx22xk0(kR).(4)解关于x的不等式：ax222xax(aR).解：(1)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1).(2)原不等式变为(ax1)(x1
4、)0，当 a0 时，x11；当 a0 时，ax1a(x1)1 时，解得1ax1；)当 a1 时，解集为；)当 0a1 时，解得 1x1a.当 a0 时，所以 ax1a(x1)0，解得 x1.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xx1；当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，不等式的解集为x1x1 时，不等式的解集为x1ax1.(3)当 k0 时，不等式的解为 x0.当 k0 时，若 44k20，即 0k1 时，不等式的解为1 1k2kx1 1k2k；若 0，即 k1 时，不等式无解.当 k0 时，若 44k20，即1k0 时，x1 1k2k或 x1 1k2k；若 0，即 k1
5、时，不等式的解集为 R；若 0，即 k1 时，不等式的解为 x1.综上所述，当 k1 时，不等式的解集为；当 0k1 时，不等式的解集为x1 1k2kx1 1k2k；当 k0 时，不等式的解集为x|x0；当1k0 时，不等式的解集为xx1 1k2k，或x1 1k2k；当 k1 时，不等式的解集为x|x1；当 k1 时，不等式的解集为 R.(4)解：原不等式可化为 ax2(a2)x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a，或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a2 时，解得1x2a；当2a1，即
6、a2 时，解得 x1 满足题意；当2a1，即2a0，0，x2，x1x2，x10，12a0 144a12a 0，18a12a0，a0，12a0.【规律方法】赋值法(特殊值法)可以使“探索性”问题变得比较明朗，是解决这类问题比较常用的方法.解得 a14.c12a14.存在一组常数 a14，b12，c14，使不等式 xf(x)x212对一切实数 x 都成立.【互动探究】1.对于函数f(x)，若f(x0)x0，则称(x0，x0)是函数f(x)的不动点.(1)已知函数f(x)ax2bxb有两个不动点(1,1)和(3，3)，求a，b的值；(2)若对于任意实数b，函数f(x)ax2bxb总有两个相异的不动点
7、，求实数a的取值范围.所以 a1，b3.解：(1)因为f11，f33，所以abb1，9a3bb3.(2)因为f(x)ax2bxb有两个相异的不动点，所以ax2bxbx有两个相异的解.所以ax2(b1)xb0有两个相异的解.所以(b1)24ab0对任意的实数b都成立.所以b2(4a2)b10对任意的实数b都成立.所以(4a2)240.所以0a1.思想与方法利用转化与化归思想求解一元二次不等式恒成立问题例题：已知 f(x)mx2mx1.(1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)若对于|m|1，f(x)
8、0 恒成立，求实数 x 的取值范围.解：(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；所以 m 的取值范围为(4,0.60 在 x1,3上恒成立.有以下两种方法：若 m0，则m0，m24m0 4m0.(2)要使 f(x)0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60.所以 m67.所以 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，即 m6.所以 m0.综上所述，m 的取值范围是mm0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值为
9、67，所以只需 m67即可.所以 m 的取值范围是mm67.(3)将不等式 f(x)0 整理成关于 m 的不等式为(x2 x)m 10.令g(m)(x2x)m1，m1,1.则g10，g10，即x2x10，x2x10.解得1 52x0(或0)对于一切 xR 恒成立的条件是a0，b24ac0或0.一元二次不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR 恒成立的条件是a0，b24ac0或0.(2)在给定某区间上恒成立.(3)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.如第(1)(2)小问中 x 为变量(关于 x 的二次函数)，m 为参数.第
10、(3)小问中 m 为变量(关于 m 的一次函数)，x 为参数.当xm，n，f(x)ax2bxc0恒成立，结合图象，只需f(x)min0即可；当 x m，n，f(x)ax2 bx c0 恒 成 立，只 需f(x)max0即可.(4)“不等式 f(x)0 有解(或解集不空)的参数 m 的取值集合”是“f(x)0 的解集为”即“f(x)0 恒成立.”注意：ax2bxc0 恒成立ab0，c0或a0，b24ac0；ax2bxc0 恒成立ab0，c0或a0，b24ac0.【互动探究】2.(2018年江西九江一中月考)不等式(a24)x2(a2)x10 的解集是空集，则实数 a 的取值范围为()A.2，65B.2，65C.2，65D.2，65 2解析：当 a2 时，不等式解集为空集；当a2时，不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，即(a24)x2(a2)x10恒成立.答案：Ba240，a224a240.解得2a65.综上所述，a 的取值范围是2，65.故选 B.3.对任意的 k1,1，函数 f(x)x2(k4)x42k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是_.x|x3解析：x2(k4)x42k0 恒成立，即 g(k)(x2)k(x24x4)0，在 k1，1上恒成立.只需 g(1)0 且 g(1)0，即x25x60，x23x20.解得 x3.
