1、 参考答案第 1 页，总 8 页 华南师大附中 20212022 学年度高三月考（三）数学参考答案及说明 选择题 18:BDDA BADD 912:AD BC BD ABD8.解：2()632xf xxeaxa=+，当 xR时()0f x恒成立，2(32)6xaxxe，当 320 x 时，即23x 时，2632xxeax，设26()32xxeg xx=，23x，222222(2)(32)36(34)(34)(1)()66(32)(32)(32)xxxxxxex exx exexxxxg xxexxx+=，令()0g x=，解得1x=，当2(3x，1)时，()0g x，函数()g x 单调递减，
2、当(1,)x+时，()0g x，函数()g x 单调递增，()ming xg=（1）6e=，6ae当 320 x 时，即23x 时，2632xxeax，由2(34)(1)()6(32)xxxg xxex+=，令()0g x=，解得0 x=或43x=，当403x时，()0g x，函数()g x 单调性递增，当43x 或203x时，()0g x，函数()g x 单调递减，且43x 时，()0g x；()(0)0maxg xg=，0a，当23x=时，恒成立，综上所述 a 的取值范围为0，6 e，故最大值为 6e，故选：D 12 解：由题意得()bfxxax=+（0 x），设()bm xxax=+（0
3、 x），则()m x=21bx（0 x）当0b 时，则()0m x()ym x=单调递增，则()yf x=不可能有极大值点（注：若有极值也是极小值），不符合要求；当0b 时，若()f x 存在极大值，此时()0fx=有解，参考答案第 2 页，总 8 页 即20 xaxb+=有两个不等正根，则有212124000abxxax xb=+=，由此可得2ab，且2142aabx=，2142aabx+=（设12xx）从而可得()f x 的极大值点为10 xx=，因为2221224(4)(4)22222(4)4aabaab aabbbxbbaabaab+=+，所以0(0,)xb，从而()f x 在0(0,
4、)x上单调增，在0(,)xb 上单调减，当0 xx=时()f x 取得极大值0()f x；由此 A、B 都不正确；又由0()0fx=得2000 xaxb+=，因为2222000000000111()ln()lnln222f xxaxbxxxbbxxbbx=+=+=+，令21()ln2g xxbxb=+，(0,)xb，则原命题转化为()0g x 在(0,)b 上恒成立；求导得2()0bbxg xxxx=+=，所以()yg x=在(0,)b 上单调增，故31()()ln022g xgbbbb=+，从而得30be，所以b 的最大值为3e，所以 C 选项正确，D 选项不正确；综上可知，选 ABD填空题
5、 13.1 14.32 15.2,2 73 16.2 3 15.解：2 coscosbCcB=，2sincossinCcosBCB=，tan2tanCB=.tan=2tanCB 又 ABC+=，()()tantantanABCBC=+=+22tantan3tan3tan1 tantan1 2tan2tan1BCBBBCBB+=，参考答案第 3 页，总 8 页 21112tan111tantantan3tantan2tanBABCBBB+=+27tan36tanBB=+.又在锐角 ABC中,tan0B,27272 7tan2tan36tan36tan3BBBB+=，当且仅当7tan2B=时取等号
6、，检验可取，min1112 7tantantan3ABC+=16.解：如图，设底面 ABC 的中心为O，OE 面VAB 于点 E，AB 的中点为 D，则2OE=，VO 为正三棱锥VABC的高在直角VOE 中，有222VOOEVE=+，又由射影定理可得 VEOEVOOD=，即24 3VOVOVEODAB=，代入式得224 34VOVOAB=+，化简得222484VOABVO=，则正三棱锥VABC的体积为21334 ABVO=23223484 31244VOVOVOVOVO=，设324 3()4xf xx=，则22322222212 3(4)24 34 3(12)()(4)(4)xxxxxxfxx
7、x=，则易得当2 3x=时，()f x 取得极小值，所以，当2 3VO=时，正三棱锥VABC的体积取得最小值 解答题 17.解：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，由122,4ab=，22lognnab=，可得122,4ba=，则2,2,2,2,nnndqan bnN=；（2）由(1)=2=2 21=21 参考答案第 4 页，总 8 页 即nb 是数列na中的第21项设数列na的前 n 项和为nP，数列 nb的前 n 项和为nQ，因为7=26=64,8=27=128所以数列 nc的前 100 项是由数列na的前 107 项去掉数列 nb的前 7 项后构成的，所以10010
8、77SPQ=107(2+214)222812=1130218.解：（1）因为()3coscos2ACB+=，所以()()3coscos2ACAC+=，则3coscossinsincoscossinsin2ACACACAC+=，即3sinsin4AC=，又112 3tantan3AC+=，所以coscossincossincossin3sinsinsinsi2 33n4ACCAACBACAC+=，解得3sin2B=，又 B 为锐角，所以3B=.（2）因为3B=，所以由()3coscos2ACB+=，可得()cos1A C=，由 A，C 为锐角，可得0AC=，可得3ACB=，因此abc=，又4ac
9、+=，所以2ac=，即2abc=所以221222322ABCS=.19.解：（1）由频率分布直方图得第一次体测成绩的平均分为：0.12450.2550.25650.35750.06 850.029565.9+=.第二次体测的成绩(65XN,22.5),第二次体测成绩的平均分为 65 65.965，第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分 （2）(65XN,22.5)，1(6070)1(22)(70)0.022822PXPXP X+=参考答案第 5 页，总 8 页 估计第二次体测中身体素质为优秀的人数为 200000.0228456=（3）依题意，3(0.0250.035)100.65+=，
10、的可能取值为 0，1，2，3，4，3(4,)5B 4216(0)()5625P =，1343296(1)()()55625PC=，222432216(2)()()55625PC=，33432216(3)()()55625PC=，4381(4)()5625P =，的分布列为：0 1 2 3 4 P 16625 96625 216625 216625 81625 312()455E =.12 分 20.解：（1）在线段上存在点 E 满足题意，且 E 为 AD 的中点.如图，连接 EF，SE，SF，四边形 ABCD 是矩形，ABAD.又 E，F 分别是 AD，BC 的中点，/EF AB，ADEF.S
11、AD为等腰直角三角形，SASD=，E 为 AD 的中点，SEAD.SEEFE=，SE 平面 SEF，EF 平面SEF，AD 平面 SEF.又 AD 平面 ABCD，平面 SEF 平面 ABCD.故 AD 上存在中点 E，使得平面 SEF 平面 ABCD.（2）解：由（1）可知SEF就是二面角 SADB的平面角，120SEF=.以 E 为坐标原点，EA，EF 的方向分别为 x，y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 参考答案第 6 页，总 8 页 标系 Exyz，由 SAD为等腰直角三角形，2 2SASD=，得()()222 22 2164AD=+=，2 22 224SE=.可得()0,1,3S
12、，()2,0,0A，()2,2,0B，()2,2,0C，()2,1,3SA=，()2,3,3SB=，()2,3,3SC=，设(),nx y z=是平面 SBC 的法向量，则0,0,n SBn SC=即2330,2330,xyzxyz+=+=可取()0,1,3n=.设直线SA与平面 SBC 所成的角为，则22sincos,42 22SA nSA nSA n=，直线SA与平面 SBC 所成角的正弦值为24.21 解：（1）由题意得32,2caea=，所以2223,1cbac=，所以椭圆 C 的方程为2214xy+=.（2）（）证明：设00(,)P xy，因为 P 在椭圆C 上，所以220014xy
13、+=.因为直线 AP 的斜率为002yx+，直线 BP 的斜率为002yx，所以直线 BP 的方程为00(2)2yyxx=.所以 N 点的坐标为008(6,)2yNx.参考答案第 7 页，总 8 页 所以直线 AN 的斜率为0000822622yxyx=+.所以直线,AP AQ 的斜率之积为：2020002200002 1422122442xyyyxxxx=+.（）,M B Q 三点共线.设直线 AP 斜率为k，易得(6,4)Mk.由（）可知直线 AN 斜率为12k，所以直线 AN 的方程为1(2)2yxk=+.联立22440,22,xyxky+=可得22(44)80kyky+=.解得Q 点的
14、纵坐标为221kk+，所以Q 点的坐标为222222(,)11kkQkk+.所以，直线 BQ 的斜率为22220122221kkkkk+=+，直线 BM 的斜率为 40622kk=.因为直线 BQ 的斜率等于直线 BM 的斜率，所以,M B Q 三点共线.22.解：（1）函数sin()2cosxf xx=+，所22cos(2cos)sin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx+=+，则1()24f=，当2x=时，1()22f=，故切点为1(,)2 2，由点斜式可得函数()f x 在2x=处的切线方程为11()242yx=，即1448yx=+；（2）()i 当 n 为
15、偶数时，sin()()()(1)2cosxxF xf xg xa ex=+=+，则22cos1()(2cos)xxF xa ex+=+，令()()h xF x=，则32sin(cos1)()(2cos)xxxh xa ex=+，因为(0,)2x且0a，所以()0h x在(0,)2x上恒成立，参考答案第 8 页，总 8 页 则()h x 在(0,)2 上单调递减，其中1(0)3ha=+，21()24ha e=+，因为()F x 在(0,)2 有极值点，所以(0)0h且()02h ，即21134ae，当21134ae 时，存在0(0,)2x，使得0()0h x=，令()0F x，即()0h x，(
16、)F x 在0(0,)x上单调递增；令()0F x，即()0h x，()F x 在0(x，)2 上单调递减，所以()F x 在(0,)2 有极值点，故实数 a 的取值范围为211(,)34e()ii 当 n 为奇数时，()()()0F xf xg x=在0，)+上恒成立，当0 x=时，(0)0F=；当0 x 时，sin()(1)02cosxxF xa ex=+恒成立，又22cos1()(2cos)xxF xa ex+=+，令2costx=+，则1t，3，所以222(2)1231()1,3tm tttt+=，因为01xee=，当13a时，13xa e，所以()0F x恒成立，所以()F x 在0，)+上单调递减，所以()(0)0F xF=，故13a符合题意；当0a时，则()0F x在(0,)2 上恒成立，所以当(0,)2x时，()F x 单调递增，()(0)0F xF=，与题意不符合；当103a时，1(0)03Fa=，()10Fa e=，则(0)()0FF，所以()F x在(0,)上存在零点，设1x 为()F x在(0,)上的最小零点，则1(0,)xx时，()0F x，因此()F x 在1(0,)x上单调递增，所以()(0)0F xF=，不符合题意综上所述，a 的最小值为 13
