1、第6讲 空间坐标系与空间向量 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.1.空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作a或AB.空间向量可以在空间内自由平行移动.2.空间向量的运算(3)数乘向量：a(R)仍是一个向量，且a 与 a 共线，|a|a|.(4)数量积：ab|a|b|cosa，b，ab 是一
2、个实数.(1)加法：ABBCAC(三角形法则：首尾相连，指向终点).(2)减法：ABACCB(三角形法则：共点出发，指向被减).3.空间向量的运算律(1)交换律：abba；abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)；(a)b(ab)(R)注意：(ab)ca(bc)一般不成立.(3)分配律：(ab)ab(R)；a(bc)abac.(1)若OP xiyjzk，则(x，y，z)叫做向量OP 的坐标，也叫做点 P 的坐标.(2)设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么ab(x1x2，y1y2，z1z2)；a_；abx1x2y1y2z1z2；cosa，bx1x2y1y2z1z2x21y
3、21z21x22y22z22.4.空间向量的坐标运算(x1，y1，z1)(3)设 M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|M1M2|x1x22y1y22z1z22.(4)对于非零向量 a 与 b，设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么有ababx1x2，y1y2，z1z2；abab0 x1x2y1y2z1z20.1.若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，且 a 与 b 夹角的余弦值为89，则()A.2 B.2C.2 或 255 D.2 或 255C解析：cosa，b ab|a|b|63 2589.解得 2 或 255.A.一定不共面C.不一定共面B.一定共面
4、D.无法判断2.(2016 年河南洛阳模拟)O 为空间任意一点，若OP 34OA 18OB 18OC，则 A，B，C，P 四点()B解析：O P34OA 18O B18O C，且3418181，A，B，C，P 四点共面.故选 B.3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量表达式DD1 ABBC化简后的结果是()A.BD1B.D1B C.B1DD.DB1A图 D78解析：如图 D78，DD1 AA1，DD1 ABAA1 ABBA1，BA1 BCBD1，DD1 ABBCBD1.4.已知点 O 为坐标原点，三点的坐标分别是 A(2，1,2)，B(4，5，1)，C(2,2,3).若AP12(A
5、BAC)，则点 P 的坐标为_.解析：设 P(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)，12(ABAC)3，32，2.因为AP12(ABAC)，即(x2，y1，z2)3，32，2，所以x23，y132，z22.解得x5，y12，z0.所以点 P 的坐标为5，12，0.答案：5，12，0考点 1 空间向量的线性运算图 8-6-1例 1：如图 8-6-1，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AA1a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.解：(1)P 是 C1D1 的中点，A
6、PAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1ac12ABac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBNab12BCab12AD ab12c.(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA1 12AD AA1 12ca，MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形
7、法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)向量的线性运算有一个常用的结论：如果 B 是线段 AC运算.的中点，那么OB 12(OA OC).此结论常用于与中点相关的【互动探究】图 8-6-21.(2016 年河南郑州模拟)如图 8-6-2，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN，若OG xOA yOB zOC，则 xyz_.解析：设OA a，OB b，OC c，则MN ON OM 12(OBOC)1
8、2OA 12b12c12a，OG OM MG 12OA 23MN 12a2312b12c12a 16a13b13c.又OG xOA yOB zOC，所以x16，y13，z13.因此 xyz16131356.答案：56 2.如图 8-6-3，已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且图 8-6-3MG3GN.设OA a，OB b，OC c，试用向量 a，b，c 表示向量OG _.解析：OG OM MG 23OA 34MN 23OA 34(ON OM)23OA 3412OB OC 23OA 23a38(bc)12a16a
9、38b38c.答案：16a38b38c考点 2 空间向量的数量积运算图 8-6-4例 2：(2016 年山西太原模拟)如图 8-6-4，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点.(1)求BN的模；(2)求 cosBA1，CB1 的值；(3)求证：A1BC1M.(1)解：如图D79，建立空间直角坐标系.图 D79依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN|102012102 3.(2)解：依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2).所以BA1(1，1,2)，
10、CB1(0,1,2).所以BA1 CB1 3，|BA1|6，|CB1|5.所以 cosBA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.(3)证明：依题意，得 C1(0,0,2)，M12，12，2，A1B(1,1，2)，C1M 12，12，0.所以A1B C1M 121200.所以A1B C1M.所以 A1BC1M.【规律方法】利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0，b0，abab0；|a|a2；cosa，b ab|a|b|.考点 3 异面直线所成的角例 3：(2015 年新课标)如图8-6-5，
11、四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.图 8-6-5证明：连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1，由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC 可知，AEEC.又AEEC.EG 3，EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG 62.在直角梯形 BDFE 中，EG2FG2EF2.EGFG
12、.ACFGG，AC，FG平面 AFC，EG平面 AFC.EG平面 AEC，平面 AEC平面 AFC.由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22.图 D80(2)解：如图 D80，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0，2)，F1，0，22，C(0，3，0).AE(1，3，2)，CF1，3，22.故 cosAE，CF AECF|AE|CF|33.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到
13、与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.(2)由两个向量的数量积定义，得 cosa，b ab|a|b|，求a，b的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出a，b的余弦值，进而求a，b的大小.在求 ab 时注意结合空间图形，把 a，b 用基向量表示出来，进而化简得出 ab 的值.【互动探究】3.三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.解析：设该三棱柱的边长为 1，依题意有，AB1 ABAA1，BC1 AC AA1 AB，则|AB1|2(ABAA1)2AB 22ABAA1 AA1 222cos 6
14、03，|BC1|2(ACAA1 AB)2AC 2AA1 2AB 22AC AA1 2AC AB 2AA1 AB 2.而AB1 BC1(AB AA1)(AC AA1 AB)AB AC AB AA1 AB AB AA1 AC AA1 AA1 AA1 AB12121121121.cosAB1，BC1 AB1 BC1|AB1|BC1|13 2 66.答案：664.(2018 年新课标)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC1，AA1 3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56 C.55 D.22答案：C解析：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1
15、为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量，D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，AD1(1,0，3)，DB1(1,1，3)，AD1 与DB1 所成角的余弦值为 cosAD1，DB1 DB1 AD1|DB1|AD1|103|2 5 55，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 55.易错、易混、易漏向量夹角不明致误例题：如图 8-6-6，在 120的二面角-l-中，Al，Bl，AC，BD，且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B.已知ACABBD6，试求线段 CD 的长.图 8-6-6正解：ACAB，BDAB，CAAB0，BD AB0.又二面角-AB-的平面角为 120，CA，BD 60.CD2|CD|2(CAABBD)2CA 2AB 2BD 22(CAABCABD BD AB)362262cos 60144.CD12.【失误与防范】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.夹角的概念，把CA，BD 60易错解为CA，BD 120，