1、第3讲 分段函数 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.分段函数对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数.它是一个函数，而不是几个函数.1.(2015 年陕西)设 f(x)1 x，x0，2x，x1，则 f1f2 的值为()A.1516B.2716C.89D.184.已知函数 f(x)121 2,0,0 x xxx 则 ff(1)_.A22考点1分段函数与函数值例 1：(1)(2015 年新课标)已知函数 f(x)2x12，x1，log2x1，x1，且 f(a)3，则 f(6
2、a)()A.74B.54C.34D.14答案：A解析：f(a)3，当 a1 时，f(a)2a123，则2a11.此等式显然不成立；当 a1 时，log2(a1)3，解得 a7.f(6a)f(1)211274.故选 A.A.3B.6C.9D.12(2)(2015 年新课标)设函数 f(x)1log22x，x1，所以f(log212)2log 1212 2log 626.故 f(2)f(log212)9.故选 C.答案：C(3)(2018 年江苏)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则 ff(15)的值为_.解析：由
3、f(x4)f(x)(xR)，得函数 f(x)的周期为 4，所以 f(15)f(161)f(1)112 12，因此 ff(15)f12 cos4 22.答案：22【规律方法】(1)分段函数求值时，应先判断自变量在哪一段内，再代入相应的解析式求解.若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，并注意检验该自变量的值是否在允许值范围内，有时也可以先由函数值判断自变量的可能取值范围，再列方程或不等式求解.(2)分段函数是一个函数，值域是各段函数取值范围的并集.(3)分段函数解不等式应分段求解.考点2分段函数与方程例 2：(1)若函数 f(x)x1，x0，log2x，x0，则函数 yff(x)
4、1的所有零点所构成的集合为_.解析：本题即求方程 ff(x)1 的所有根的集合，先解方程 f(t)1，即t0，t11，或t0，log2t1，得 t2，或 t 12.再 解 方 程 f(x)2，f(x)12，即x0，x12，或x0，log2x2，或x0，x112，或x0，log2x12，得 x3，或 x14，或 x12，或 x 2.答案：3，12，14，22xa，x2，(2)已知函数 f(x)ax无零点，那么实数 a 的x2取值范围是_.解析：首先讨论有零点的情形 x0，则满足f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1,0)D.(，0)，x0.则1x0；由 f(
5、x1)2x，x1.则 x1；当10,2x0，由 f(x1)f(2x)，得 10 时，x10,2x0，由 f(x1)1，f(2x)1，f(x1)f(2x)显然不成立.综上所述，x 的取值范围是(，0).答案：D解析：当x1时，x10,2x0，则满足f(x)fx12 1 的 x 的取值范围是_.解析：令 g(x)f(x)fx12，当 x0 时，g(x)f(x)fx12x1x12 12x321，x14，得14x0；当 01，显然成立，得 012时，g(x)f(x)fx12 2x122x 1，显然成立，得 x12.综上所述，x 的取值范围是14，.答案：14，难点突破 正确理解分段函数的单调性 例题：
6、已知实数a0，a1，函数 f(x)ax，x1，x24xaln x，x1在R上单调递增，则实数a的取值范围是_.答案：2a5解析：f(x)ax，x1，a1241aln 1，x24xaln x 0.即a1，a5，2x4x2ax0.由 2x4x2ax0，得 a4x2x2，x1 时，4x2x22，a2.综上所述，实数 a 的取值范围为 2a5.【规律方法】分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，若单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，若函数连续，则单调区间可以合在一起，若函数不连续，则要根据函数在两段分界点处的函数值(和临界值)的大小确定能否将单 调区间并在一起.【互动探究】3.若函数 f(x)a1x2a，x2，logax，x2在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_.解析：若使分段函数 f(x)a1x2a，x2，logax，x2在 R 上单调递减，有a10，0a1，a122aloga2，解得 22 a1.22 a1