1、第17讲 导数与函数的极值、最值 1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.1.函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；f(x)0f(x)0如果在 x0 附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根
2、；极大值检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.2.函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在
3、(a，b)内的_；极值将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.端点值3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域；(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案.1.(2016 年四川)已知 a 是函数 f(x)x312x 的极小值点，)则 a(A.4C.4B.2D.2在(t，t1)上存在极值点，则实数 t 的取值范围为_
4、.2.(2017 年湖北四月调考)已知函数 f(x)12x24x3ln xD(0,1)(2,3)3.设函数 f(x)2xln x，则()A.x12为 f(x)的极大值点B.x12为 f(x)的极小值点C.x2 为 f(x)的极大值点D.x2 为 f(x)的极小值点D4.(2015 年陕西)函数 yxex 在其极值点处的切线方程为_.y1e解析：yf(x)xexf(x)(1x)ex，令 f(x)0 x1，此时 f(1)1e，函数 yxex 在其极值点处的切线方程为 y1e.考点1函数的极值例 1：(2017 年辽宁沈阳模拟)设函数 f(x)ln x12ax2bx，(1)若 x1 是 f(x)的极
5、大值点，则实数 a 的取值范围为_；(2)若函数 f(x)在 x1 处有极值12，则 ab_；(3)若 f(x)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_.解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xaxb，由 f(1)0，得 b1a.f(x)1xaxa1ax21axxx ax1x1x.若 a0，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 x1 是 f(x)的极大值点.若 a1，解得1a1.(2)由 f(1)0，得 b1a，又 f(1)12，12a(1a)12，即 a3.从而 b2，ab5.(3)f(x)0 有两正根，即 ax2(1a)x10 有两正
6、根，a0，1a24a0.解得 a1(2)5 (3)(，1)(1,0)【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数f(x)的定义域；求f(x)，令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根；把函数 f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.(2)可导函数极值存在的条件：可导函数的极值点x0 一定满足f(x0)0，但当f(x1)0 时，x1 不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但
7、x0 不是极值点；可导函数yf(x)在点x0 处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0 左侧与右侧f(x)的符号不同.【互动探究】1.设函数 f(x)x33axb(a0).(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(x)处与直线 y8 相切，求a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点.解：(1)f(x)3x23a(a0).曲线 yf(x)在点(2，f(x)处与直线 y8 相切，f20，f28 34a0，86ab8 a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)，当 a0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点.当 a0 时，由 f(x)0，得 x a.当
8、x(，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(a，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增.此时 x a是 f(x)的极大值点，x a是 f(x)的极小值点.考点2函数的最值例2：(2018 年新课标)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_.解析：由题意，可得 T2是 f(x)2sin xsin 2x 的一个周期，故只需考虑 f(x)2sin xsin 2x 在0,2)上的值域.先来求该函数在0,2)上的极值点，求导数，可得 f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos x1)(cos x1).令 f(x)0，可解得
9、cos x12或 cos x1.可得此时 x3，或53 .y2sin xsin 2x 的最小值只能在点 x3，或53 和边界点 x0 中取到.计算可得 f3 3 32，f()0，f53 3 32，f(0)0，函数的最小值为3 32.答案：3 32【规律方法】求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【互动探究】2.(2018 年江苏)若函数 f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则 f(x)在1,
10、1上的最大值与最小值的和为_.解析：由 f(x)6x22ax0，得 x0，xa3.因为函数 f(x)在(0，)上有且仅有一个零点且 f(0)1，所以a30，且 f a30.因此 f a3 2a33aa3210，解得 a3.从而函数 f(x)在1，0上单调递增，在0,1上单调递减，所以 f(x)maxf(0)，f(x)minf(1)，f(1)f(1)，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.答案：3考点3利用导数解决生活中的优化问题例3：(2016 年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1
11、C1D1(如图 2-17-1)，并要求正四棱柱的图 2-17-1高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍.(1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？解：(1)由 PO12 m 知 OO14PO18 m.因为 A1B1AB6 m，所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 V 锥13A1B21PO11362224(m3).正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V 柱AB2OO1628288(m3).所以仓库的容积 VV 锥V 柱24288312(m3).(2)设 A1B1a m，PO1h m，
12、则 0h6，OO14h m.连接O1B1，如图 2-17-1.因为在 RtPO1B1 中，O1B21PO21PB21，所以2a22h236，即 a22(36h2).于是仓库的容积 VV 锥V 柱a24h13a2h133 a2h263(36hh3)(0h0 和 f(x)0 时要注意.本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.令 V0，得 h2 3 或 h2 3(舍).当 0h0，V 是单调增函数；当 2 3h6 时，V0，V 是单调减函数.故当 h2 3时，V 取得极大值，也是最大值.因此，当 PO12 3 m 时，仓库的容积最大.合函数y(其中a，b为常数)模型.【互动探究】3.(2
13、015 年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图 2-17-2，M，N 为 C的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l1，l2 所在的直线分别为 y，x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符ax2 b(1)求 a，b 的值.(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函
14、数解析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.图 2-17-2解：(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5).将其分别代入 yax2b，得a25b40，a400b2.5.解得a1000，b0.(2)由(1)知，y1000 x2(5x20)，则点 的坐标为t，1000t2.设在点 P 处的切线 l 分别交 x，y 轴于 A，B 点，y2000 x3，则直线 l 的方程为 y1000t2 2000t3(xt).由此，得 A3t2，0，B0，3000t2.故 f(t)3t223000t2232t24106t4，t5,20.设 g
15、(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5,10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数.从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300.此时 f(t)min15 3.答：当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米.难点突破运用分类讨论思想讨论函数中的存在性问题例题：(2017 年安徽百校联考)已知函数 f(x)2x3ax28.(1)若 f(x)0 对x1,2恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在整数，使得函数g
16、(x)f(x)4ax212a2x3a38 在区间(0,2)上存在极小值，若存在，求出所有整数的值；若不存在，请说明理由.解：(1)由 f(x)2x38x22x8x2.设 h(x)2x8x2，则 h(x)216x3.x1,2，h(x)0.则 h(x)在1,2上是减函数.h(x)maxh(1)10.f(x)2x8x2对x1,2恒成立，a10.则实数 a 的取值范围为(10，).(2)g(x)2x33ax212a2x3a3，g(x)6x26ax12a26(xa)(x2a).当 a0 时，g(x)0，g(x)单调递增，无极值.当 a0 时，若 xa，则 g(x)0；若2axa，则 g(x)0.当 xa
17、 时，有极小值.g(x)在(0,2)上有极小值，0a2.存在整数 a1.当a0 时，若x2a，则g(x)0；若ax2a，则 g(x)0.当 x2a 时，g(x)有极小值.g(x)在(0,2)上有极小值，02a2，得1a0.由，得存在整数 a1，使得函数 f(x)在区间(0,2)上存在极小值.【互动探究】4.已知函数 f(x)mexnx.(1)若函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 y3x2，求 m，n 的值；(2)当 n1 时，在区间(，1上至少存在一个 x0，使得f(x0)0，所以函数 f(x)在(，1上单调递增.令 x0a0，此时 f(x0)meaa0 时，令 f(x)0，则 xlnm.则函数 f(x)在(，lnm)上单调递减，在(lnm，)上单调递增.lnm1，即 0me 时，则函数 f(x)在(，lnm)上单调递减，在(lnm,1上单调递增.所以 f(x)minf(lnm)lnm10.解得 0m1e.当 lnm1，即 me 时，函数 f(x)在区间(，1上单调递减，则函数 f(x)在区间(，1上的最小值为 f(1)me10，解得 me.无解.综上所述，m1e，即实数 m 的取值范围是，1e.