1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质 1.理解以下判定定理.如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.2.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.直线与平面的位置关系在平面内无数个交点相交1 个交点平行0 个交点定义若一条直线和平面平行，则它们没有公共点判定定理 1 a ，b，且 aba判定定理 2
2、，aa性质定理a，a，lal平面与平面的位置关系相交无数个交点平行0 个交点定义若两个平面平行，则它们没有公共点判定定理 1a，b，abM，a，b判定定理 2 a，a性质定理 1，aa性质定理 2，a，bab(续表)1.设 AA是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA平行)C的棱共有(A.1 条C.3 条B.2 条D.4 条2.下列命题中，正确的是()DA.若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B.若直线 a 和平面满足 a，那么 a 与内的任何直线平行C.若直线 a，b 和平面满足 a，b，那么 abD.若直线 a，b 和平面满足 ab，a，b ，则 b3.下列
3、命题中，正确命题的个数是()A若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.(2018 年浙江)已知平面，直线m，n 满足 m ，n，)A则“mn”是“m”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点 1 直线与平面平行的判定与性质例 1：(1)(2017 年新课标)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点
4、，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()ABCD解析：由 B 图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 D 图知 ABNQ，则直线 AB平面 MNQ.故选 A.答案：A(2)如图 8-4-1，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号).图 8-4-1解析：如题图，MNAC，NPAD，平面 MNP平面 ADBC.AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面 MNP，设 BDMPQ，则 NQ 为平面 ABD
5、与平面 MNP 的交线.ABNQ.N 为 AD 的中点，Q 为 BD 的中点.但由 M，P 分别为如题图，BD 与 AC 平行且相等，四边形 ABDC 为平行四边形.ABCD.又M，P 为棱的中点，MPCD.ABMP.从而可得 AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面 MNP，并棱的中点，知 Q 为 BD 的14分点，矛盾.得不到 AB平面 MNP.设直线 AC平面 MNPD，则有 ABMD.M 为 BC 中点，D 为 AC 中点，显然与题设条件不符，得不到 AB平面MNP.答案：【规律方法】证明直线 a 与平面平行，关键是在平面内 找一条直线 b，使 ab，如果没有现成的平行线，应依据条件作
6、出平行线.有中点的常作中位线.【互动探究】1.(2017 年山东济南模拟)在如图 8-4-2 所示的三棱柱 ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()图 8-4-2A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1.AB平面 ABC，A1B1平面 ABC，A1B1平面 ABC.过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE，DEA1B1.DEAB.答案：B考点 2 平面与平面平行的判定与性质例 2：如图8-4-3，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过点 A 作 AFSB
7、，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点.求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.图 8-4-3证明：(1)ASAB，AFSB，F 是 SB 的中点.E，F 分别是 SA，SB 的中点，EFAB.又EF 平面 ABC，AB平面 ABC，EF平面 ABC.同理，FG平面 ABC.又EFFGF，EF，FG平面 EFG，平面 EFG平面 ABC.(2)平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB，AF平面 SAB，且 AFSB，AF平面 SBC.又BC平面 SBC，AFBC.又ABBC，ABAFA，AB平面 SAB，AF平面 SAB，BC平面 SAB.又SA平面 SAB，BC
8、SA.【规律方法】证明平面与平面平行，就是在一个平面内找两条相交直线平行于另一个平面，从而将面面平行问题转化为线面平行问题.【互动探究】2.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 AD 中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为()A.5 B.2 5C.26D.6图 D72答案：C解析：如图 D72，过点 B1，且与平面 A1BE 平行的正方体的截面为菱形 B1FDG，边长为 5，对角线 B1D2 3，FG2 2，面积为122 32 22 6.考点 3 线面、面面平行的综合应用例 3：如图 8-4-4，已知有公共边 AB 的两个正方形 ABCD和 ABEF
9、 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 APDQ.求证：PQ平面 CBE.图 8-4-4证明：方法一，如图 8-4-5(1)，连接 AQ 并延长交 BC 于 G，连接 EG，则AQQGDQQB.APDQ，PEBQ，AQ AP.QG PEPQEG.又 PQ 平面 CBE，EG平面 CBE，PQ平面 CBE.(1)(2)(3)图 8-4-5方法二，如图 8-4-5(2)，分别过 P，Q 作 PKAB，QHAB，分别交 BE，BC 于点 K，H，则 PKQH.连接 KH，则PKABPEAE，QHCDBQBD.CDAB，AEBD，PEBQ，PKQH.四边形 PQHK 是平行四边
10、形.PQKH.又 PQ 平面 CBE，KH平面 CBE，PQ平面 CBE.方法三，如图 8-4-5(3)，过点 P 作 POEB，交 AB 于点 O，连接 OQ，EPPABOOA，EPPABQQDBOOABQQD，则 OQADBC.平面 POQ平面 CBE.又PQ 平面 CBE，PQ平面 POQ，PQ平面 CBE.【规律方法】证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行.方法一是作三角形得到的；方法二是通过作 平行四边形得到在平面内的一条直线KH；方法三利用了面面平行的性质定理.【互动探究】3.(2015 年安徽)已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(
11、)A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故 A 错误；若 m，n 平行于同一平面，则 m，n 可以平行、相交、异面，故 B 错误；若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线，故 C 错误；其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真命题，故 D 项正确.故选 D.答案：D难点突破 立体几何中的探究性问题例题：(2018 年新课标)如图 8-4-6，矩形 AB
12、CD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点.(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得MC平面 PBD？说明理由.图 8-4-6CDCD(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD.故 BCDM.因为 M 为上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.CD(2)解：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：如图 8-4-7，连接 AC 交 BD
13、于 O.图 8-4-7因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点.连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.又 MC 平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.【规律方法】解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探 求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合 要求的证明.【互动探究】4.如图848，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.图 8-4-8(1)
14、当A1D1D1C1的值等于何值时，BC1平面 AB1D1；(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求ADDC的值.解：(1)如图 D73，取 D1为线段A1C1的中点，此时连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四边形，点 O 为 A1B 的中点.在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1图 D73的中点.OD1BC1.A1D1D1C11，又OD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1.A1D1D1C11 时，BC1平面 AB1D1.(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1D1O，因此 BC1D1O，同理 AD1DC1.A1D1D1C1A1OOB，A1D1D1C1DCAD.又A1OOB 1，DCAD1，即ADDC1.
