1、第11讲 一元二次方程根的分布 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.一元二次方程 ax2bxc0(a0)，二次函数 f(x)ax2bxc(a0)：方程有两正根：x10，x20b24ac0，x1x2ba0，x1x2ca0；方程有两负根：x10，x20b24ac0，x1x2ba0；方程有一正一负根：x10，x20 或 x10 x1x20cak，x2 k b24ac0，afk0，b2ak；图 2-11-2方程有两根(如图 2-11-2)：x1k，x20，b2ak，x1 k af(k)0；图 2-11-3方程有且只有一根在区间(k1，k2)内 f(k
2、1)f(k2)0(如图2-11-4)；图 2-11-4方程两根满足 k1x1x20，fk10，fk20，k1 b2ak2或b24ac0，a0，fk10，fk20，k1 b2ak2；图 2-11-5方程两根满足 k1x1k2p1x20，fk10，fk20，fp10或 a0，fk10，fp10，fp20.1.若集合 Ax|ax2ax10，则实数 a 的值的集合是(D)A.a|0a4C.a|0a4B.a|0a4D.a|0a42.关于 x 的方程 x2axa10 有异号的两个实根，则 a的取值范围是_.a74.关于 x 的方程 x2axa240 有两个正根，则实数 a的取值范围是_.20.(1)一根在
3、(1,2)内，另一根在(1,0)内应满足：f1f20，f0f10，即m2m10，2m3m0.解得12m0.(2)一根在(1,1)内，另一根不在(1,1)内，应满足：f(1)f(1)0，即(2m1)(2m3)12或 m32.又m10，m1.m 的取值范围，32 12，1(1，).(3)一根小于 1，另一根大于 2，应满足：m1f10，m1f20，即m12m10，m1m0.解得 0m1.(4)一根大于1，另一根小于1，应满足：(m1)f(1)0，即(m1)(2m3)1 或 m32.(5)两根都在(1,3)内，应满足：0，1m1m10，m1f30，解得32m0，m1f00，解得 0m1.(7)两根都
4、小于 1，应满足：0，m1m10，解得 m1 或 m12.(8)在(1,2)内有解，应满足：0，1m1m10，m1f20 或 f(1)f(2)0，解得12m0.(2,1)【互动探究】1.(2018 年山东实验中学诊断)如果方程 x2(m1)xm220 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是_.解析：记 f(x)x2(m1)xm22，由题意，可知 f(1)m2m20.解得2m0，0m123，f040，f393m140.解得 3m103.故 m 的取值范围是3，103.思想与方法运用分类讨论思想判断方程根的分布例题：已知函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上
5、有零点，求实数 a 的取值范围.解：方法一，当 a0 时，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点.当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分为三种情况：方程 f(x)0 在区间1,1上有重根，令 14a(13a)0，解得 a16或 a12.当 a16时，令 f(x)0，得 x3，不是区间1,1上的零点，舍去；当 a12时，令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点.若函数 yf(x)在区间1,1上只有一个零点，但不是 f(x)0 的重根，即 a16，a12，令 f(1)f(1)4a(4a2)0，解得 0a12.又 a0，a12，0a0，12a24a10，1 1
6、2a1，f10，f10，或a0，1 12a1，f10，f10，解得 a.综上所述，实数 a 的取值范围为0，12.方法二，当 a0 时，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点.当 a0 时，f(x)ax2x13a 在区间1,1上有零点(x23)a1x 在区间1,1上有解a 1xx23在区间1,1上有解.问题转化为求函数 y 1xx23在区间1,1上的值域.设 t1x，由 x1,1，得 t0,2，且 yt1t230.而 yt1t231t4t2.设 g(t)t4t，可以证明当 t(0,2时，g(t)单调递减.设 0t1t22，则 g(t1)g(t2)t14t1 t24t2 t
7、1t2 t1t24t1t2.由 0t1t22，得 t1t20,0t1t20.所以 g(t)在 t(0,2上单调递减.故 g(t)g(2)4.所以 y1gt212.故实数 a 的取值范围为0，12.【规律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与a0；讨论有一个零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；(2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x)0 的实数根；(3)准确理解根的存在性定理：f(x)在a，b上连续；f(a)f(b)0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满 足f(a)f(b)0，f00，即34a0，12a0.解得12a34.