1、第6讲 指数式与指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.分数指数幂mnmn aa正分数指数幂正数的正分数指数幂(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂0(续表)正数的负分数指数幂amn 1mn a(a0，m，nN*，且 n1)负分数指数幂0 的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂的运算性质(1)aras_(a0，r，sQ).(2)(ar)sars(a0，r，sQ).(3)(ab)r_(a0，b0，r，sQ)ar
2、sarbr2.指数函数的图象与性质指数函数yax(a1)yax(0a0)B.26 y y13(y0)D.x13 3 x(x0)2.函数 f(x)4x12x 的图象()CD3.函数 yax(a0，且 a1)的图象可能是(1a)DABCD4.方程93x113x 的实数解为_.xlog34考点1指数幂运算例1：计算：(1)1.51376080.25 4 2(3 2 3)62323；(2)21111332256()ababa b.思路点拨：根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算.解：(1)原式23131(23)14 214(213312)623132313222332313110.(2)原式1111
3、33221566a b a ba ba1 1 13 2 6 b1 1 52 3 6 a0b01.根式化成指数式的形式，依据为【规律方法】因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出 的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将 ，注意结果不要同时含有根号和分数指数幂.nm a anm【互动探究】1.若 x0，则(2x14332)(2x14332)4x12(xx12)_.23考点2指数函数的图象例 2：(1)设函数 f(x)|2x11|，x2，x5，x2，若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(1
4、7,33)D.(6,7)答案：C图 D3解析：函数 f(x)|2x11|，x2，x5，x2的图象如图 D3，不妨设 abc，f(a)f(b)，|2a11|2b11|,12a12b11,2a2b1,4c5，162c32，所以 2a2b2c 的取值范围是(17,33).故选 C.(2)已知实数 a，b 满足等式12a13b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图 D4.图 D4y13x，y12x当 x0 时，若12a13b，则 ab0 时，若12a13b，则 0b0，
5、a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，则函数 g(x)loga(xk)的图象是()ABCD解析：若函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)k10k1.又函数是增函数，所以a1.那么g(x)loga(x1)的图象为增函数，并且过点(0,0).故选 C.3.(2016年浙江模拟)已知实数 a，b 满足等式 2017a2018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba1，则有 ab0.成立；若 t1，则有 ab0.成立；若 0t1，则有 ab0.成立.故可能成立，而不可能成立.故选 B.图 D5考点3指数函数的性质及应用例 3：(1)设 0a13，则 a，3 aa，aaa 的大小关系是()A.3
6、 aaaaa a B.aaa a3 aaaC.3 aaaaaaD.aaaa 3 aa解析：要比较 a，3 aa，aaa 的大小，底数相同，即比较 1a0，3 a 13a，aa 的大小.而 0aaa 3 a 13a.所以 aaaa 3 aa.故选 D.答案：D(2)(2015 年山东)设函数f(x)x3x1，x1，2 ，x1，则满足ff(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B.0,1C.23，D.1，)解析：方法一，当 a1 时，f(a)2a1，所以 ff(a)2f(a)，即 a1 符合题意.当 a1 时，f(a)3a1，若 ff(a)2f(a)，则f(a)1，即 3a11，a23
7、.所以23a1 符合题意.综上所述，a 的取值范围是23，.故选 C.方法二，利用特殊值.当 x2 时，ff(2)f(4)242f(2)，解集中应该有 2，排除 A，B；当 x23时，23fff(1)21232f，解集中应该有23，排除 D.故选 C.答案：CA.是奇函数，且在 R 上是增函数B.是偶函数，且在 R 上是增函数C.是奇函数，且在 R 上是减函数D.是偶函数，且在 R 上是减函数(3)(2017 年北京)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()解析：因为 f(x)3x 13x，f(x)3x 13x 13x3xf(x)，所以函数是奇函数.又 3x 是增函数，13x也是增函数，
8、即 f(x)3x 13x是增函数.故选 A.答案：A【互动探究】A.f(c)f(b)f(a)B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(a)f(c)4.已知函数 f(x)3x3x，a1434，b1343，c342log，则 f(a)，f(b)，f(c)由小到大的排列顺序为()解析：f(x)3x3x 为单调递增函数，a14341443a1，clog2340，所以 f(c)f(a)0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析：考查函数 yax 与函数 yxa 的交点的个数，当a1 时，有两个交点；当 0a0，且 a1)有两个不相等的实根，则实数 a 的取值
9、范围是(A.(0,1)(1，)B.(0,1)C.(1，)D.0，12(1)(2)图2-6-1答案：D解析：当 a1 时，图 2-6-1(1)为 y|ax1|的图象，与 y2a 显然无两个交点；当 0a1 时，如图 2-6-1(2)，要使 y2a与 y|ax1|的图象有两个交点，应有 02a1，0a0，且a1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应运用分类讨论的数学思想，分a1 和0a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，再利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其他图象.1，1a，【互动探究】5.设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A.3c3aB.3c3b C.3c3a2D.3c3a2图 D6答案：D解析：y|3x1|的图象是由y3x向下平移一个单位后，其x轴上方的图象保持不变，将x轴下方的图象翻折上去得到的，如图D6，由图可知，要使cbf(a)f(b)成立，则有c0a，3c1f(a)，13c3a1，即3c3a2.故选D.