1、第15讲 导数的意义及运算 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义，求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数.4.能利用给出的 8 个基本初等导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如 f(axb)的复合函数的导数.1.函数导数的定义一般地，函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是limx0yxlimx0fx0 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 yxx0，即 f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.2.导数的几何意义和物理意义(1)导
2、数的几何意义：函数 yf(x)在 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0).如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻t0 的瞬时加速度为 av(t0).3.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)Cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)_f(x)ax(a0)f(x)ax
3、ln a(a0)f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln a(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)_0 x1sin xex1x4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；uxvx uxvxuxvxvx2v(x)0.u(x)v(x)u(x)v(x)C1.已知函数 f(x)42x2，则 f(x)(A.4xB.8xC.82xD.16x2.(2018 年新课标)曲线 y(ax1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为2，则 a_.34.若函数 f(x)ln xax 在点 P(1，b)处的切线与 x3y20 垂直，则 2ab()A.2B.0C.
4、1D.23.若 f(x)在 x0 处可导，则 f(x0)()A.limx0fx0fx0 xx B.limx0fx0 xfx0 xxC.limx0fx0 xfx02xx D.limx0fx02xfx0 xxAD考点1导数的概念例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f(x0)相等的是()limx0fx0fx02x2x；limx0fx0 xfx0 xx；limx0fx02xfx0 xx；limx0fx0 xfx02xx.A.B.C.D.解析：limx0fx0fx02x2xlimx0fx02x2xfx02x2xf(x0)；limx0fx0 xfx0 xx2limx0fx0 x2xfx0 x
5、2x2f(x0)；所以正确.故选 B.答案：Blimx0fx02xfx0 xxlimx0fx0 xxfx0 xxf(x0)；limx0fx0 xfx02xx3limx0fx02x3xfx02x3x3f(x0).【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式limk0fx0kfx0kf(x0).其中 k(一般用 x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.fx0kfx0【互动探究】1.若 f(x0)2，则limk02k()A.1B.2C.1D.12A解析：f(x0)limk0fx0kfx0k2(xk)，limk0fx0kfx02k12limk0fx0kfx0k12f(x0)
6、1221.故选 A.x，f(1)e1ln 1e.考点2导数的计算例2：(1)(2018年天津)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_.f(x)exlnexx解析：由函数的解析式，可得e11答案：e(2)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)3x2 2xf(2)，则 f(5)_.解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2).令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2)6.答案：6(3)设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且x)xln x，则 f(1)_.解析：f(ln x)
7、xln x，令 ln xt，xet，则 f(t)ett，即 f(x)exx.又 f(x)ex1，f(1)e1.答案：e1f(ln【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x，而f()x2sin 的自变量为.考点3导数的几何意义考向1导数的物理意义例 3：有一机器人的运动方程为 s(t)t23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194
8、B.174C.154D.134答案：D解析：由题意知，机器人的速度方程为 v(t)s(t)2t3t2，故当 t2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)22 322134.故选D.考向2导数的几何意义例4：(1)(2017 年新课标)曲线线方程为_.yx21x在点(1,2)处的切1.所以在点(1,2)处的切线方程为 y21(x1)，即 yx1.答案：yx1解析：yf(x)x21x，则 f(x)2x1x2.所以 f(1)21解析：f(x)axlnx，f(1)a，f(x)a ，f(1)a1，(2)(2017 年天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l
9、 在 y 轴上的截距为_.1x所以在点(1，a)处的切线为 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x1，在 y 轴上的截距为 1.答案：1(3)(2016年新课标)已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)lnx3x，则 f(x)1x3，f(1)2.则在点(1，3)处的切线方程为 y32(x1)，即 y2x1.答案：y2x1(4)(2018 年新课标)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2xC.y2xB.yxD.yx解析：函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，则 a1，f(x)x3x，f(x)3x21，f(0
10、)1.则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.故选 D.答案：D【规律方法】求曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)，即函数 yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).易错、易混、易漏混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例题：已知曲线 f(x)x3x，则：(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为_；解析：f(x)3x21.(1)曲线在点(1,0)处的切线的斜率为
11、kf(1)2.又切点为(1,0)，所求切线方程为 y2(x1)，即 2xy20.答案：(1)2xy20(2)2xy20 或 x4y10(2)设切点为 P(x0，x30 x0)，则 k 切f(x0)3x201.所求切线方程为 yx30 x0(3x201)(xx0).又切线过点(1,0)，x30 x0(3x201)(1x0)解得 x01 或12.故所求切线方程为 y2(x1)或 y3814x12 即 2xy20 或 x4y10.【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x
12、相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”.(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0 处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(3)求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切 线方程，其方法如下：设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；利用斜率公式kfx0yAx0 xA f(xA)建立关于 xA 的方程，解出xA，进而求出切线方程.