1、第二章 概 率 3 条件概率与独立事件第2课时 事件的相互独立性学习目标重点难点1.理解两个事件为相互独立事件的概念，并能判断两个事件是否为相互独立事件2了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别3掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能应用公式计算相关的概率问题.1.重点是事件的相互独立性的概念及相互独立事件同时发生的概率的求法2难点是相互独立事件同时发生的概率公式的正确应用.阅读教材：P44P45 的有关内容，完成下列问题1独立事件(1)概念：对两个事件 A，B，如果_，则称 A，B 相互独立(2)推广：若 A 与 B 相互独立，则 A 与_，A 与_，A与_也相互独立(3)拓展：若 A
2、1，A2，An 相互独立，则有P(A1A2An)_P(AB)P(A)P(B)B P(A1)P(A2)P(An)BB两事件相互独立是否说明这两个事件没有任何关系？提示：两事件A，B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系，并不是事件A，B间没有关系相反，若事件A，B相互独立，则常有事件AB，即事件A，B不互斥2相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表所示.事件 A，B 的各种情形概率计算公式A，B 同时发生P(AB)P(A)P(B)A，B 同时都不发生P(A B)_1P(A)1P(B)1P(A)P(B)P(A)P(B)A，B 至少有一个不发生 p1P(AB)
3、1P(A)P(B)A，B 至少有一个发生p1P(A B)_A，B 恰有一个发生pP(A B AB)_ _1P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)两个气象台同时作天气预报，如果他们预报准确的概率分别为0.8和0.9，那么在一次预报中，两个气象台都没预报准确的概率为_解析：由题意知，两气象台预报不准确的概率分别为0.2和0.1，且相互独立，所以都不准确的概率为0.20.10.02答案：0.02独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两
4、个小孩；(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为14A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，P(A)12，P(B)34，P(AB)12P(A)P(B)38P(AB)事件 A，B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为
5、18，这时 A 中含有 6个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A)6834，P(B)4812，P(AB)38，显然有 P(AB)38P(A)P(B)成立，从而事件 A 与 B 是相互独立的【点评】(1)利用相互独立事件的定义即P(AB)P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件1容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球(1)“从8个球中任意取
6、出1个，取出的是白球”与“从剩余的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？解：(1)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率是58，若这一事件发生了，则“从剩余的 7 个球中任意取出 1个，取出的还是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(2)由于把取出的白球放回容器，故对“再从容器中任意取出 1 个，
7、取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件相互独立事件的概率计算甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)两人都射中的概率；(2)两人中有一人射中的概率；(3)两人至少有一人射中的概率解：设事件 A 表示“甲射中目标”，事件 B 表示“乙射中目标”(1)两人都射中的概率为 P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72(2)“两人中恰有一人射中”包括“甲中乙不中”“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则P(A B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26(3)方法
8、一“两人至少有一人射中”包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)P(AB)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.720.260.98方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”为对立事件，所以“两人至少有一人射中”的概率为 1P(A B)1P(A)P(B)10.20.10.98互动探究 本例条件不变，试求两人至多有一人射中的概率解：方法一“至多有一人射中”包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为 P(A B)P(A B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.020.080.180.28方法二“至多有一
9、人射中”的对立事件为“两人都射中”，故所求概率为 1P(AB)1P(A)P(B)10.720.28【点评】(1)要注意区分相互独立事件、对立事件、互斥事件(2)在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程较为繁琐，但“至少”或“至多”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率2某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序作答，竞赛规则如下：每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分
10、，3分，答错任一题减2分；每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局已知甲同学回答 1,2,3 三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用 X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求 X 的分布列解：(1)设事件 A 表示“甲同学问题 1 回答正确”，事件 B表示“甲同学问题 2 回答正确”，事件 C 表示“甲同学问题 3回答正确”，依题意 P(A)34，P(B)12，P(C)13记
11、“甲同学能进入下一轮”为事件 D，则P(D)P(A BCAB ABC)P(A BC)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)P(C)34121334121412131324(2)X 可能的取值是 6,7,8,12,13P(X6)P(A B)141218，P(X7)P(A B C)34122314，P(X8)P(AB C)141223 112，P(X12)P(A BC)34121318，P(X13)P(AB ABC)P(AB)P(ABC)3412141213 512X 的分布列为X6781213P181411218512相互独立事件的综合应用甲、乙、丙三台机
12、床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率解：(1)设 A，B，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件由题意得 PA B14，PB C 112，PAC29，即PA1PB14，PB1PC 112，PAPC29.由得 P(B)198P(C)，代入得 27P(C)251P(C)
13、220，解得 P(C)23或 P(C)119(舍去)将 P(C)23代入得 P(B)14，将 P(B)14代入得 P(A)13故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23(2)记 D 为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则 P(D)1P(D)11P(A)1P(B)1P(C)123341356故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为56【点评】求解概率综合应用问题的思路(1)“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥或相互独立的事件(2)运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是
14、否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式(3)正难则反，间接处理在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等概率问题，如果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但对立事件却往往很简单，其概率也易求出此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率和为1来求原来事件的概率3李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中
15、投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则 CA B AB，A，B 独立根据投篮统
16、计数据，P(A)35，P(B)25P(C)P(A B)P(AB)353525251325所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为13251互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系名称区别联系定义事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；两事件独立，则不一定互斥(或对立)；两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十四)谢谢观看！
