1、第一章 推理与证明 3 反证法 学习目标重点难点1.结合已经学习过的实例，理解反证法的推理过程2.能说出反证法的证明步骤3.会用反证法证明有关命题4.要明确适用于用反证法来证明的一类命题.1.重点：理解反证法的推理过程2.难点：用反证法证明有关命题.1反证法的定义先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题的结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作_定义、公理、定理已知条件假定反证法温馨提示：一般地，由证明pq转向证明qrt，t与假设或与某个真命题矛盾，q为假，推出q为真的方法，叫作反证法关于反证法，法国数
2、学家阿达玛曾说过：“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”这是对反证法的精辟的概括2反证法的证明步骤(1)作出_的假设；(2)进行推理，导出_；(3)否定_，肯定_温馨提示：1反证法推证问题模式框图否定结论矛盾假设结论2适合反证法的类型题(1)问题共有n种情形，现在要证其中一种情形成立时，可利用反证法把其余的n1种情形排除，从而确定这种情形成立(2)命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x10的根，可用反证法证明假设2是方程2x10的根，推导出矛盾，从而确定2不是方程的根(3)命题用“至少”“至多”等叙述时，可用反证法证明(4)命题成立非常明显，而要直接证明，所能用的
3、理论太少，且不容易说明白，可用反证法证明3应用反证法时，推出的矛盾常见的有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的事实或自相矛盾等设an是公比为q的等比数列设q1，证明：数列an1不是等比数列用反证法证明否定性命题证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10.q1，这与已知矛盾 假设不成立，an1不是等比数列【点评】1.用反证法证明否定性命题的适用类型结
4、论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤1已知 f(x)axx2x1(a1)，求证：方程 f(x)0 没有负数根证明：假设 x0 是 f(x)0 的负数根，则 x00 且 x01 且 ax0 x02x01.0ax01.0 x02x011.解得12x02，这与 x00 矛盾，故 f(x)0 没有负数根用反证法证明“至多”“至少”类问题若 a，b，c 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.证明：假设 a，b，c 都不大于 0，则
5、a0，b0，c0.abc0.而 abcx22y2 y22z3 z22x6(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0.这与abc0矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个大于0.【点评】应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x都成立 存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不都成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q2已知a，b，
6、c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0.(ab)2(bc)2(ac)20.abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，假设不成立，从而命题得证求证：方程2x3有且只有一个根证明：2x3，xlog23.这说明方程2
7、x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21.b1b20.即b1b2，这与b1b2矛盾 假设不成立，从而原命题得证用反证法证明唯一性命题【点评】用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性3若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根证明：假设方程f(x)0在
8、区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(三)谢谢观看！