1、第二章 变化率与导数 本章整合提升知识点一 导数的概念定义式limx0yxlimx0fx0 xfx0 x记法f(x0)limx0fx0 xfx0 x实质函数 yf(x)在 xx0 处的导数就是 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率知识点二 导数的几何意义函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 klimx0fx0 xfx0 xf(x0)1基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c(c是常数)，则f(x)0；(2)若f(x)x(是常数)，则f(x)x1；(3)若f(x)sin x，则f(x)cos x；(4)若f(x)cos x，则f(x)sin x；(5)若f(x)ax(
2、a0，a1)，则f(x)axln a；(6)若f(x)ex，则f(x)ex；知识点三 导数的运算(7)若 f(x)logax(a0，a1)，则 f(x)1xln a；(8)若 f(x)ln x，则 f(x)1x.2导数的四则运算法则(1)条件：f(x)，g(x)是可导的(2)结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgx fxgxfxgxg2x.3复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：一般形式是yf(x)可分解为yf(u)与u(x)，其中u称为中间变量(2)求导法则：复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为yxf(u)
3、(x)学习本章应注意的问题1导数的概念，要注意结合实例，理解概念的实质，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程为xx0.2利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键3对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要按中间变量，换成自变量的函数对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容以及x0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变
4、形专题一 利用导数的定义解题若 f(x0)2，则limk0fx0kfx02k等于()A1 B2C1D12解析：limk0fx0kfx02k12 limk0fx0kfx0k12 f(x0)1221.答案：A【点 评】解 决 此 类 题 型 一 定 要 注 意 f(x)limx0fxxfxx的结构特征设 f(x)为可导函数，且满足条件limx0f1f1x2x1，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率解：f(x)为可导函数，且limx0f1f1x2x1，12limx0f1f1xx1.limx0f1xf1x2，即 f(1)2.曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为2.【点评】本
5、题解决的关键在于对比limx0f1f1x2x与 f(x)导数的定义式得出 f(1)求导公式和导数法则的建立使求导问题程序化，为许多较复杂的函数的求导提供了简捷的途径在运用时必须严格按照已有的公式、法则进行，运用求导公式和法则必须做到：(1)正确掌握基本函数的求导公式(2)正确利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导(3)正确运用函数四则运算的求导法则和简单的复合函数的求导法则专题二 导数的计算求下列函数的导数：(1)yln tan xcotx23；(2)ysin x212cos2x4.解：(1)yln tan xcotx23 1tan x(tan x)1sin2x23x23 1tan
6、x 1cos2x1sin2x232xcos xsin x 1cos2x2xsin2x232sin 2x2xsin2x23.(2)ysin x212cos2x4 sinx2cos x2 12sin x.y12sin x 12(sin x)12cos x.【点评】求函数的导数时要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合形式在求导数的过程中，要仔细分析解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式，对于不具备求导法则结构形式的解析式要进行适当恒等变形对于较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，
7、再求导数，但必须注意等价变形由于函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决专题三 导数的几何意义设曲线yx3在xa(a0)处的切线为直线l.(1)求直线l的方程；(2)求证：直线 l 与曲线 yx3 恒有两个不同的公共点，且这两个公共点之间的距离不小于 3 6a2.(1)解：y3x2，直线 l 的斜率为 3a2(a0)直线 l 的方程为 ya33a2(xa)，即 3a2xy2a30(a0)(2)证明：由题意得yx3，y3a2x2a3，x33a2x2a3
8、0.即(xa)2(x2a)0，解得 x1a，x22a.a0，x1x2.直线 l 与曲线有两个不同的交点 A(a，a3)，B(2a，8a3)|AB|3a29a32 2|3a9a3|3 6a2.即这两个公共点之间的距离不小于 3 6a2.【点评】证明第(2)题的难点在于求方程 x33a2x2a30 的根，事实上，x33a2x2a30 可化为(x3a3)(3a2x3a3)0.在证明|AB|3 6a2 时，利用了基本不等式 a2b22ab，得 a2b2 2|ab|.曲线 ysin xsin xcos x12在点 M4，0 处的切线的斜率为()A12 B12C 22D 22解析：ycos xsin xc
9、os xsin xcos xsin xsin xcos x21sin xcos x2，y|x41sin 4cos 4212.答案：B曲 线 y x3 x 3 在 点(1,3)处 的 切 线 方 程 为_解析：由题意得y3x21，y|x131212，所以切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy10设曲线C：yx33x和直线xa(a0)的交点为P，在P点处的曲线C的切线与x轴交于点Q(a,0)，求a的值专题四 求参数取值问题解：依题意有yx33x，xa，解得xa，ya33a.P(a，a33a)y3x23，在 P 点处切线斜率为 3a23 的曲线 C 的切线方程为 y(a33a)(3a23)(xa)【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意题设条件a0.令 y0，得切线与 x 轴的交点为2a33a23，0，则有 2a33a23a，解得 a 155.a0，a 的值为 155.已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2，求a，b，c，d的值解：由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4，而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，a4，b2，c2，d2.点击进入WORD链接阶段质量评估(二)谢谢观看！