1、第二章 参数方程4 平摆线和渐开线 41 平摆线42 渐开线 学习目标重点难点1.了解基圆与滚动圆的概念2.理解平摆线和渐开线的概念3.掌握平摆线和渐开线的参数方程及应用.1.重点是平摆线与渐开线的参数方程2.难点是平摆线与渐开线参数方程的应用.一、阅读教材：4.1平摆线的有关内容，完成下列问题1平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一_的运动轨迹叫作_(或_)定点平摆线旋轮线(2)平摆线的参数方程：定点M在滚动过程中满足的几何条件：如图(1)，在平面直角坐标系中，设圆的半径为r，圆在x轴上滚动，开始时点M在原点O.设圆转动的角度为时，圆和x轴的切点是
2、S，圆心是N，M的坐标为(x，y)，取角度为参数连接NM，NS，过M作x轴的垂线MP，垂足为点P，过M作NS的垂线MQ，垂足为Q.因为MNQ，所以OSr.这就是圆周上的定点M在圆N沿直线滚动过程中满足的几何条件平摆线的参数方程：如图(1)，由分析可得 xOPOSPSSM MQrrsin r(sin)，yPMSQSNQNrrcos r(1cos)所以平摆线的参数方程是_ _.xrsin，yr1cos()1在平摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一拱的宽度与高度各是多少？提示：平摆线的参数方程中，参数的取值范围是(，)一拱的宽度与高度的求法是：当y0时，cos 1，得一拱的宽度为2r；拱的最高
3、点与定直线的距离为2r，则一拱的高度是2r(其中r是滚动圆的半径)二、阅读教材：4.2渐开线的有关内容，完成下列问题2渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的_，相应的定圆叫作渐开线的_.渐开线基圆(2)渐开线的参数方程：动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M，它的初始位置记作A，绳子离开圆盘的位置记作B，随着绳子逐渐展开，动点B从点A出发在圆周上运动，动点M满足以下条件：()MB 与圆相切于 B；()M
4、B 的长度与 B 在圆周上走过的弧长相等，即 MBAB.渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系设圆的半径为 r，则动点 M 的初始位置 A 的坐标为(r,0)，设动点 M 的坐标为(x，y)，是以 OA 为始边、OB为终边的正角，令 为参数，此时AB 的弧长为 r.作 MEOx，BCOx，垂足分别为 E，C；作 MDBC，垂足为 D，则MBDAOB，由此可得圆的渐开线的参数方程是_.xrcos sin，yrsin cos(其中 是参数)2渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：渐开线的参数方程中，参数的几何意义就是相应的圆心角平
5、摆线的参数方程(1)求 平 摆 线x2tsin t，y21cos t(t 为 参 数，且0t2)与直线 y2 的交点的直角坐标(2)求半径为 2 的圆的平摆线的参数方程解：(1)当 y2 时，有 22(1cos t)，即 cos t0.又0t2，t2或 t32.当 t2时，x22sin 2 2；当 t32 时，x232 sin 32 32，所求的交点的直角坐标为(2,2)，(32,2)(2)根据平摆线的定义，设圆上任意一点 M(x，y)，取点 M的初始位置为点 O，建立直角坐标系，易得参数方程为x2sin，y21cos(为参数)【点评】根据圆的平摆线的参数方程xrsin，yr1cos(为参数)
6、，可知只需求出其中的半径 r，圆的平摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的平摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的1已知一个圆的平摆线过一定点(1,0)，请写出该平摆线的参数方程解：设所求平摆线的参数方程为xrsin，yr1cos(为参数)令 r(1cos)0 可得 cos 1，所以 2k(kZ)代入可得 xr(2ksin 2k)1.所以 r 12k.又 r0，所以应有 k0 且 kZ，即 kN.故所求平摆线的参数方程是x 12ksin，y 12k1cos(为参数)(其中 kN)圆的渐开线方程已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对应的参数值分别是2和32，求 A，B
7、 两点间的距离解：由题意知 r1，则圆的渐开线参数方程为xcos sin，ysin cos(为参数)当 2时，xcos 22sin 22，ysin 22cos 21，所以 A2，1.当 32 时，xcos 32 32 sin 32 32，ysin 32 32 cos 32 1，【点评】根据已知条件求圆的渐开线的参数方程，关键记住推导圆的渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可所以 B32，1.所以|AB|23221122 21.2如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是340 mm，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程解：由已知，得 2r340，即 r170，代入圆的渐
8、开线的参数方程，得x170cos sin，y170sin cos(为参数)设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴圆的平摆线、渐开线参数方程的应用解：轨迹曲线的参数方程为x8sin，y81cos(02)，则 时，即 x8 时，y 有最大值 16.第一拱(02)的对称轴为 x8.【点评】本题考查圆的平摆线参数方程的应用，解答此题需要根据xrsin，yr1cos(为参数)，确定出 r，的值，再求 y 的最值及对称轴即可3当 2，时，求出渐开线xco
9、s sin，ysin cos(为参数)上的对应点 A，B，并求出 A，B 间的距离解：将 2代入xcos sin，ysin cos，得xcos 22sin 22，ysin 22cos 21，A2，1.将 代入xcos sin，ysin cos，得xcos sin 1，ysin cos，B(1，)故 A，B 间的距离为21 2125422.1.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指基圆的半径，而参数 是指绳子外端运动时绳子上的定点 P 相对于圆心的张角如图，其中的AOB 即是角.显然点 P 由参数 唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单2根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十一)谢谢观看！