1、广州市第二中学2020学年度第二学期期中考试题高二数学2021.04.27本试卷共5页，22小题，满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，集合，则（ ）ABCD2已知正方形的边长为2，为的中点，则（ ）AB4C4D23欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的根据欧拉公式，复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4我国汉代数学家赵爽为了证明勾股
2、定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，正方形外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）ABCD5在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实数的值为（ ）A1BC3D76若，则（ ）A0B35C70D7我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用
3、函数的解析式来琢磨函数的图象特征如函数的图象大致为（ ）ABCD8已知函数有两个极值点、，则的最大值为（ ）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，错选得0分）9已知空间中不同直线、和不同平面、，下列命题中是真命题的是（ ）A若、互为异面直线，则B，若，则C若，则D若，则10已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若取得最大值时，则D的最大值为11设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）ABCD12如图，在正方体中，点为的中点，点为上的
4、动点，给出下列说法，其电正确的有（ ）A可能与平面平行B与所成的最大角为C与一定垂直D与所成的最大角的正切值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13设复数满足，复数的共轭复数记为，则_14设，则的最小值为_15已知数列的前项和，则数列的前10项和为_16已知双曲线的左焦点为，为双曲线上一点，与双曲线的渐近线平行，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率_四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）某市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗这批树苗最矮2米
5、，最高米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图）（1）试估计这批树苗高度的众数，中位数；（2）现按分层抽样方法从高度在的树苗中任取6株树苗从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在的概率18（本题满分12分）已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个函数的最大值是2；函数的图象可由函数左右平移得到；函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；（2）已知的内角、所对的边分别为、，满足，点为的中点，且，求的值19（本题满分12分）已知正项数列满足，等比数列满足：，（1）证明数列是等差数列，并求数列，的通项公式；（2）设
6、，求 20（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值21（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为、，右焦点为，为椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点22（本题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求实数的取值范围广州市第二中学2020学年第二学期期中考试参考答案高二数学一、单项选择题：BBCACAAD8由题意，函数，可得函数的定义域为，且，设，因为函数有两个极值点、，即在内有两个不等的实数根、，可得，解得
7、，又因为、，可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为故选D二、多项选择题9AC10ACD11BC12ACD三、填空题13141516四、解答题17（1）由频率分布直方图得：众数的估计值为，的频率为：，的频率为：，估计这批树苗高度的中位数为：（2）按分层抽样方法，从高度在的树苗中任取6株树苗，则中抽取：株，中抽取：株，从这6株树苗中任选3株，基本事件总数，3株树苗中至少有一株树苗高度在包含的基本事件个数：，3株树苗中至少有一株树苗高度在的概率18解：（1）函数只能同时满足由知，由知，则故由，解得，所以的单调递增区间为，（2），（此处若未结合角的范围，直接写出的值，扣1分）法一：作线段的中点，
8、因为，故因为，即由正弦定理知法二：分别在，中对角运用余弦定理，可得边长，的关系，略19解：（1）各项为正，且，是公差，首项的等差数列，则设等比数列的公比为，则，故，解得，故（2）：20（1）证明：连接，为的中点，为的中点，故，平面（2）以为坐标原点，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，则，设平面的法向量，则令，则，则易证平面，故取平面的法向量因为二面角的平面角为锐角，所以 21【解析】（1）由题意知，当在轴时，面积最大，所以又联立，得，所以椭圆的方程为（2）设，其中，则，所以直线的方程为，令，得，即，又，所以直线的方程为，令，得，即，所以，以为直径的圆的方程为：，又，且在糖圆
9、上，所以，代入方程整理得圆的方程为，令，得，所以存在点，使得以以为直径的圆恒过点22【详解】（1）由题知，的定义域为，（对函数求导后由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性）当时，在上恒成立，故在上是增函数：当时，令得，在上有，在上有，在上是减函数，在上是增函数（2）当时，即，（*）令，则若，由（1）知，当时，在上是增函数，故有，即，得，故有（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）（当且仅当，即，且时取等号）（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论）函数在区间上单调递增，（*）式成立若，令，则，当且仅当时等号成立函数在区间上单调递增，使得，则当时，即函数在区间上单调递减，（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性），即（*）式不恒成立综上所述，实数的取值范围是