1、广州市真光中学20202021学年第二学期高一数学期中考试题 2021.04.27一、单选题（每小题5分，共40分）1、复数的共轭复数的虚部是（ ）A.B.C.D.2、已知复数满足，则的最小值是（ ）A.5B.2C.7D.33、的内角、的对边分别为、，已知，则（ ）A.B.C.2D.34、如图，在矩形中，,，点为的中点，点在边上，若，则的值是（ ）A.B.1C.D.25、空间四边形中，分别是，的中点，则异面直线，所成的角为（ ）A.B.C.D.6、如图，在中，且，则（ ）A.B.C.D.7、设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）A.B.C.2D.38、在平面上，若，则的取值范围是（
2、）A.B.C.D.二、多选题（全对得5分，错一个得0分，漏选得2分）9、已知向量，则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量为C.与的夹角余弦值为D.若，则10、在中，角，的对边分别为，则以下4个题中有唯一解的是（ ）A、，B、，C、，D、，11、如图，的内角，所对的边分别为，若，且，是外一点，则下列说法正确的是（ ）A.是等边三角形B.若，则，四点共圆C.四边形面积最大值为D.四边形面积最小值为12、在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的为（ ）A、存在点，使得平面平面；B、存在点，使得平面；C、若的面积为，则；D、若，分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点
3、，使得三、填空题13、设、是两条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列四个命题：其中是真命题的是_（填上正确命题的序号）。若，则；若，则；若，则；若，则14、在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）A.B.C.D.15、已知在东西方向上有，两座小山，山顶各有一座发射塔、，塔顶、的海拔高度分别为和，一测量车在小山的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶处的仰角为，且，经测量，求两发射塔顶，之间的距离_16、在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_四、解
4、答题17、（10分）在锐角三角形中，角，的对边分别为，用向量方法证明：18、（12分）直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面上的动点，设，求的最大值。19、（12分）如图，在四棱锥中，平面，.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值。20、（12分）如图，在四棱锥中，平面，.设，分别为，的中点。（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.21、（12分）在中，三个内角，的对边分别为，其中，且（1）求证：是直角三角形；（2）设圆过，三点，点位于劣弧上，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值。22、(12分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重
5、视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”，通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线，如图，为某市的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），为线段，若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.广州市真光中学20202021学年第二学期高一数学期中考试题参考答案一、 单选题1、A；2、D；3、D；4、C；5、B；6、C；7、C；8、D二、多选题9、BCD；10、AD；11、AC；12、ABD.三、填空题13、；14、；15、；16、.四、解答题17、证法：过
6、点作，由向量的加法可得：则，即同理，过点作，可得从而18、解：以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，可设，因为，所以，所以的最大值为，19、【解】（）如图，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角，因为平面，所以，在中，由已知，得，故.所以，异面直线与所成角的余弦值为.（）证明:因为平面，直线平面，所以.又因为，所以，又，所以平面.（）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角。因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角.由于，故，由己知，得.又，故，在中，可得，在中，得所以，直线与平面所成角的正弦值为.20、解:(1)证明: “，分别为，的中点，又平面，平面，平面.在中，.又，.平面，平面，平面又，平面平面，(2)由(1)知，平面平面，点到平面的距离等于点到平面的距离.，三棱锥的体积.21、（1）证明：由正弦定理的得，整理为，即或，即或，舍去.由可知，是直角三角形.（2）由（1）及，得，.在中，所以，.因为，所以，当，即时，最大值等于.22、【解】（1）在中，由余弦定理可得.（2）的轨迹为外接圆的一部分，设外接圆的半径为，由正弦定理，且满足，由（1）得：，所以为直角，过作于，设所求距离为，当通过圆心时，达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，当无限接近时，此时，综上：所求到直线距离的取值范围为.