1、十三函数的奇偶性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1(2021厦门高一检测)已知yf(x)在1，1上单调递减，且函数yf(x1)为偶函数，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Abac BcbaCbca Dabc【解析】选D.因为函数yf(x1)为偶函数，所以函数yf(x)的图像关于x1对称，所以aff，又yf(x)在1，1上单调递减，所以yf(x)在1，3上单调递增，所以ff(2)f(3)，即ab0的x的取值范围是()AB(，2)(1，1)(2，)C(1，1)D(，2)(2，)【解析】选B.因
2、为函数f是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f0，所以f0，函数f在上单调递增；当x0时，若x240，可得20得f0f，可得10，可得x0得f0f，可得x1，所以x0时，若x240，可得0x0得f0f，可得0x0，可得x2，则由f(x)0得f0f，可得x1，所以x2.综上所述，x的取值范围为(，2)(1，1)(2，).3(2021台州高一检测)已知函数f(x)，g(x)是定义在R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)g(x)ax2x2，若对于任意1x1x22，则实数a的取值范围是()A(0，)BCD【解析】选B.因为对于任意1x1x22，即0，令h(x)g(x)2x，则h(
3、x)g(x)2x在上单调递增又f(x)g(x)ax2x2，则f(x)g(x)ax2x2，两式相加可得f(x)f(x)g(x)g(x)2ax24，f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，所以2g(x)2ax24，即g(x)ax22，所以h(x)g(x)2xax22x2，若a0，则h(x)2x2在上单调递增，满足题意；若a0，则h(x)ax22x2是对称轴为x的二次函数，为使其在上单调递增，只需或解得a0或a0，综上a.4(多选题)(2021潍坊高一检测)已知f(x)为定义在R上的函数，对任意的x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，并且当x0时，有f(x)4，则实数a的取值
4、范围为【解析】选ACD.取xy0得，则f(00)f(0)f(0)，即f(0)0，故A正确；取yx代入，得f(0)f(x)f(x)，又f(0)0，于是f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(2)2，所以ff2，故B错误；设x1，x2R且x1x2，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)f，由x1x20知，f(x1x2)0，所以f(x2)f(x1)，所以函数f(x)为R上的增函数故C正确；因为f(2)2，所以f(4)f(2)f(2)4，所以f(a2)f(2a5)4等价于f(a2)f(2a5)f，即f(a2)f(2a5)f，所以f(a2)f(2a54)等价于a22a54，即20
5、，解得a1或a1，故D正确二、填空题(每小题5分，共10分)5已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且当x0时，f(x)|x1|，则f(2)_，f(2)_【解析】当x0时，f(x)|x1|，所以f(2)|21|1；由奇函数的性质得f(2)f(2)，所以f(2)f(2)1.答案：116(2021北京高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x(1x)，则当x0时，f(x)_【解析】设x0，由当x0时，f(x)x(1x)，所以f(x)(x)(1x)，又函数f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，所以f(x)(x)(1x)x(x1).答案：x(x1)三、解答题(每小题10分，共2
6、0分)7(2021南京高一检测)已知函数f(x)x2|xa|1，aR.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，求使得不等式f(x)kx恒成立的k的范围【解析】(1)当a0时，f(x)x2|x|1，f(x)(x)2|x|1x2|x|1f(x)，所以f(x)为偶函数；当a0时，f(x)(x)2|xa|1x2|xa|1，所以f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数；(2)由(1)知：f(x)为偶函数，则a0，则f(x)x2|x|1，所以f(x)k|x|等价于x2|x|1k|x|，当x0时，不等式化为10，恒成立，满足题意；当x0时，不等式等价于k|x|1，又|x
7、|1213，当且仅当|x|，即x1时等号成立，所以k3.8已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0.【解析】(1)设x0，则x0，所以f(x)，又f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，而f(0)0适合上式，所以f(x)的解析式为f(x)(2)任取x1，x20，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为x1，x20，)且x10，(x11)(x21)0，所以0，即f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在0，)上单调递减(3)由函数的解析式可知f(1)，而不等式可化为f(t22t6)，所以f(t22t6)f(1)，又由(2)可得函数f(x)在R上单调递减，所以t22t61，解得12t12，所以不等式的解集为(12，12).