1、第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题学习目标重点难点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2.会求某闭区间上函数的最值3.了解导数在解决实际问题中的作用4.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.1.重点：会求某闭区间上函数最值及利用导数解决实际生活中优化问题2.难点：求某闭区间上函数最值.知识点一 函数的最大(小)值与导数下图为 yf(x)，xa，b的图像思考 1 观察a，b上函数 yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值提示：f(x1)，f(x3)是函数 yf(x)的极大值，f(x2)，f(x4)是函数 yf(x)的极小值思考2 结合
2、图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？提示：存在 f(x3)是函数yf(x)的最大值，f(a)是函数yf(x)的最小值思考3 函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？提示：不一定思考4 怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？提示：首先求出函数f(x)在a，b上的极大值和极小值，然后将函数f(x)的极大值和极小值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值2求函数yf(x)在闭区
3、间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数yf(x)的_与_处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_连续不断极值各极值端点最大值最小值知识点二 生活中的数学建模1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_2利用导数解决优化问题的实质是_3解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程优化问题用导数求最值问题数学建模求函数的最值(1)求函数f(x)x312x22x5在区间2,2上的最大值与最小值；(2)求函数 f(x)12xsin x 在区间0,2上的最大值与最小值思路点拨 先利用导数求
4、极值，然后与端点处的函数值比较得最值解：(1)f(x)x312x22x5，f(x)3x2x2.令 f(x)0，解得 x123，x21.f23 15727，f(1)72，f(2)1，f(2)7，函数 f(x)在2,2上的最大值是 7，最小值是1.(2)f(x)12xsin x，f(x)12cos x.令 f(x)0，解得 x123，x243.f(0)0，f23 3 32，f43 23 32，f(2)，函数 f(x)在0,2上的最大值是，最小值是 0.【点评】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根x0；(3)将f(x0)的各个值
5、与f(a)，f(b)进行比较，确定f(x)的最大值与最小值1(1)函数 f(x)x33x26x10 在区间1,1上的最大值为_(2)(2017北京卷)已知函数 f(x)excos xx，求函数 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值(1)解析：f(x)3x26x63(x1)230，函数f(x)在区间1,1上单调递增，当x1时，函数f(x)取得最大值f(1)6.答案：6(2)解：设 h(x)f(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当 x0，2 时，h(x)0，h(x)在区间0，2 上单调递减对任意 x0，2 有 h(
6、x)h(0)0，即 f(x)0.函数 f(x)在区间0，2 上单调递减f(x)在区间0，2 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f2 2.已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在实数a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由思路点拨 利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值解：显然a0，f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)已知函数的最值求参数的值当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：当x0时，f(x)取得最大值 b3.又f(2)16a3，x1(1,0)0
7、(0,2)2f(x)0f(x)7ab 极大值 16abf(1)7a3，f(1)f(2)，当x2时，f(x)取得最小值即16a329，解得a2.当af(1)，当x2时，f(x)取得最大值即16a293，解得a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.【点评】由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用解析：由已知得f(x)3x23x3x(x1)令f(x)0，得x0或x1.当1x0，则f(x)为增函数；当0 x1时，f(x)0，则f(x)为减函数2如果函数 f(x)x332x2a 在1,1上的最
8、大值是 2，那么 f(x)在1,1上的最小值是_当 x0 时，f(x)取得最大值为 a.a2,f(1)132212，f(1)132232.在 x1,1上，f(x)的最小值为12.答案：12某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期 多 卖 出 的 商 品 件 数 与 商 品 单 价 的 降 低 额 x(单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？生活中的优化问题解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2
9、，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)24k22，k6.f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令f(x)0，即18(x2)(x12)0，得x12，x212.当x变化时，f(x)，f(x)如下表：f(0)9 072f(12)11 664，x12时，f(x)取得最大值即当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072 极小值 极大值 0【点评】利用导数
10、解决优化问题的一般步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式yf(x)(2)求函数f(x)的导数f(x)，并解方程f(x)0，即求函数可能的极值点(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值(4)根据实际问题的意义给出答案3某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关
11、系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值解：(1)设日销售量为 s，则 skex.x40 时，s10，10 ke40，即 k10e40.s10e40ex.y10e40ex(x30m)(35x41)(2)y10e40exx30mexex210e4031mxex.令 y10e4031mxex0，则 x31m.当 2m3 时，y0.y 在 35x41 上为减函数当 x35 时，日利润取得最大值，且最大值为 10e5(5m)元1函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值例如：函数 f(x)1x在(0，)上连续，但没有最大值与最小值2解决优化问题的基本思路点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十四)谢谢观看！