1、3.2 立体几何中的向量方法(一)目标定位重点难点1.理解直线的方向向量、平面的法向量，会求平面的法向量2.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题3.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决垂直问题重点：用向量方法解决平行与垂直问题难点：用向量方法解决立体几何问题1直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线_向量2平面的法向量直线l，取直线l的_a，则a叫作平面的法向量平行的非零方向向量3空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmab_.(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u
2、(a2，b2，c2)，若 l，则 lau _ _.akba1ka2，b1kb2，c1kc2，kRau0a1a2b1b2c1c20(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uv_.4空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为 b (b1，b2，b3)，则 lm_.ukva1ka2，b1kb2，c1kc2，kRabab0a1b1a2b2a3b30(2)线面垂直设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量是v(a2，b2，c2)，则luv_.(3)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1
3、)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则_ _.ukvuvuv0a1a2b1b2c1c201若点A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1)D(3,0,1)【答案】A.【解析】AB(2,1,2)(1,0，1)(1,1,3)，(2,2,6)2(1,1,3)，(2,2,6)是直线 l 的一个方向向量故选 A2设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是()A(1，2,5)B(1,1，1)C(1,1,1)D(1，1，1)【答案】B【解析】(1,1，1)(1,2,1)1210，
4、(1，1，1)(1,1,2)1120，向量(1,1，1)是平面的法向量故选B.3若平面与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D无法判断【答案】A【解 析】a (1,0，2)(1,0,2)b，ab.【答案】B【解析】，则它们的法向量也互相垂直，(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10.4若平面，的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则实数 x 的值为()A10B10C12D12【例 1】如 下 图，在 长 方 体 OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上且AP2PA1，点S在棱BB1上且S
5、B12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，求证：PQRS.利用空间向量解决平行问题【解题探究】建立适当的直角坐标系，证明线线平行转化为证明方向向量共线【证明】如题图所示，建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)，AP2PA1，AP2PA1 23AA1，即AP 23(0,0,2)0,0，43.P 点坐标为3，0，43.同理可得 Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23，PQ 3，2，23 RS.PQ RS.又 RPQ，PQRS.证明两直线平行，即证两直线的方向向量共线且不共点，解题的
6、关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标.1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，求证：平面EFG平面HMN.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)EF(0，1,1)，EG(1,0,1)，HM(0,1，1)，HN(1,0，1)设 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的一个法向量由 mEF0，mEG 0，得y1z10，x1z10.令 x11，得 m(1，1，1)由nH
7、M 0，nHN 0，得y2z20，x2z20.令 x21，得 n(1，1，1)于是有 mn，mn.平面 EFG平面 HMN.利用空间向量解决垂直问题【例 2】如下图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD中，E，F 分别为 DD，BD 的中点，M 在棱CD 上且 CM14，N 是 CM 的中点(1)求证：EFBC；(2)求 EF 与 CM 所成角的余弦值；(3)求 FN 的长【解题探究】(1)证明两直线垂直，即证两直线方向向量垂直；(2)利用向量数量积求夹角【解析】以D为原点，线段DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系(1)【证明】A(1,0,0)，E0，
8、0，12，F12，12，0.故EF12，12，12.BC(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)EFBC 12，12，12(1,0，1)0.EFBC.(2)CM 0，14，1.cosEF，CM 1201214 12 112212212214212 117 51.EF 与 CM 所成角的余弦值为 5117.(3)F12，12，0，N0，78，12，|FN|120 212782012214 96414 418.FN 的长为 418.证明两直线垂直，即证两直线的方向向量垂直，即证两个向量的数量积为0，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为
9、矩形，PD 底 面ABCD，AD PD，E，F分别为CD，PB的中点求证：EF平面PAB.【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系设 E(a,0,0)，其 中 a0,则 C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，Fa，12，12，EF0，12，12，PB(2a,1，1)，AB(2a,0,0)EFPB0，所以 EFPB.EFAB0，所以 EFAB.又 PB平面 PAB，AB平面 PAB，PBABB，所以 EF平面 PAB.考虑问题不全面致误【示例】设 u 是平面 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，根据下列条件判断 和 l 的位
10、置关系：(1)u(2,2，1)，a(3,4,2)；(2)u(0,2，3)，a(0，8,12)；(3)u(4,1,5)，a(2，1,0)【错解】(1)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820.ua.l.(2)u(0,2，3)，a(0，8,12)，u14a，ua.l.(3)u(4,1,5)，a(2，1,0)，u 与 a 不共线，也不垂直l 与 斜交【错因分析】(1)题易出现只有 l 这一种情况的错误，错误的原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的不同【正解】(1)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820.ua.l 或 l.(2)u(0,2，3)，a(0，8,12)，u14a，u
11、a.l.(3)u(4,1,5)，a(2，1,0)，u 与 a 不共线，也不垂直l 与 斜交【警示】两直线平行，则这两条直线的方向向量共线；两直线的方向向量共线，则这两条直线平行或重合1直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介2用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理3用向量方法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平
12、行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题1若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(2,2,2)，则()A，相交但不垂直BCD以上均不正确【答案】B【解析】u(1,2，1)，v(2,2,2)，uv1(2)22(1)20.uv.故选B2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A【答案】B【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为 1，则CE12，12，1，BD(1，1,0)，CEBD 0.CEBD.故选 B.3已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z的值为()A3 B6 C9 D9【答案】C【解析】l平面，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10.解得z9.4平面 ABC 中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(1,0，1)，若 a(1，y，z)且a为平面ABC的法向量，则y_，z_.【答案】1 0【解析】AB(1,1,0)，AC(1，1，2)，a 为平面ABC 的法向量，aAB0，aAC0，即1y0，1y2z0.解得 y1，z0.点击进入WORD链接
