1、第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则 学习目标重点难点1.能说出复合函数的概念，记住复合函数的求导法则2.会运用复合函数求导法则求一些复合函数的导数3.能把一个复合函数分成两个或几个简单函数的和、差、积、商的形式4.要明确复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，其中选择中间量是应用公式解题的关键.1.重点：复合函数的求导法则2.难点：利用复合函数的求导法则求复合函数导数.一般地，对于两个函数_和_，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数_和_的复合函数，记作yf(x)其中u(x)
2、为中间变量yf(u)u(x)axb yf(u)u(x)axb 复合函数yf(x)的导数为yxf(x)f(u)(x)利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数求下列函数的导数：(1)ysin 3x；(2)ylg(2x23x1)思路点拨先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解解：(1)设ysin u，u3x，则yxyuux(sin u)(3x)cos u33cos 3x.简单的复合函数求导【点评】求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u
3、)，ug(x)；(2)设 ylg u，u2x23x1，则 yxyuux(lg u)(2x23x1)1uln 10(4x3)4x32x23x1ln 10.(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f(u)，再求g(x)；(3)计算f(u)g(x)，并把中间变量转化为自变量的函数整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程1求下列函数的导数：(1)y(2x1)n(xN)；(2)ysin(4x3)；(3)yxcos 2x.解：(1)y(2x1)nn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)ysin(4x3)cos(
4、4x3)(4x3)4cos(4x3)(3)y(xcos 2x)xcos 2x(cos 2x)xcos 2x2xsin2x.复合函数导数的综合问题某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系s(t)3sin12t56(0t24)，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 h，求函数在 t18 时的导数，并解释它的实际意义解：设 f(x)3sin x，x(t)12t56.由复合函数求导法则得 s(t)f(x)(t)3cos x 124cos12t56.将 t18 代入 s(t)，得 s(18)4cos 73 8(m/h)它表示当 t18 h 时，潮水的高度上升的速度为8 m/h.【点评】将复合函数
5、的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况2求证：可导的奇函数其导数是偶函数证明：设f(x)是奇函数，即f(x)f(x)两边对x求导数，得f(x)(x)f(x)，即f(x)f(x)f(x)f(x)故命题成立多层复合函数求导求 ysin22x3 的导数思路点拨解法一：视为三层复合函数，逐层求导解法二：先视为两层 yu2，usin2x3，再将复合函数usin2x3 进一步分解解法三：通过降幂公式变形后，再求导解法一：设 yu2，usin v，v2x3，则 yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2
6、sin4x23.解法二：ysin22x3 2sin2x3 sin2x3 2sin2x3 cos2x3 2x3 2sin4x23.【点评】多角度解决问题，体现了思维的多样性，总结规律，选择最优方法解法三：ysin22x3 121cos4x23，y1212cos4x2312sin4x23 4x23 2sin4x23.3求下列函数的导数：(1)y112x2；(2)yesin(axb)解：(1)设 yu12，u12x2，则yxyuux12u32(4x)12(12x2)32(4x)2x(12x2)322x12x2 12x2(2)设 yeu，usin v，vaxb，则 yxyuuvvxeucos vaac
7、os(axb)esin(axb)1复合函数求导的步骤2求复合函数的导数要注意：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁3对于多层复合函数，例如yfu，uv，vmx，复合为函数 yf(m(x)，求导法则与两层类似，yxf(u)(m(x)f(u)(v)m(x)多层复合函数要逐层求导，不要遗漏，也称为复合函数求导的链条法则因为它像链条，一环一环地求导下去，不能丢掉任何一环4灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，培养从多角度、多方位思考问题的意识，达到优化解题过程的目的5复合函数的求导法则可应用于解决切线问题、导函数的性质问题、求和问题等，体现了其应用的广泛性点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(九)谢谢观看！