1、第6讲 简单的三角恒等变换 1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.转化思想(1)转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等.三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降.(2)常用的升次公式有：1sin 2(sin cos)2；1sin 2(sin cos)2；1cos 22cos2；1cos22sin2.2.三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简.(2)三角函数式的
2、求值.(3)三角函数式的证明.3.求三角函数最值的常用方法(1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.(3)数形结合法.(4)换元法.(5)基本不等式法.4.辅助角公式的应用(1)asin bcos a2b2sin aa2b2cos ba2b2，不妨记 cos aa2b2，sin ba2b2，则 asin bcos a2b2(sin cos cos sin)a2b2sin().(2)用辅助角公式变形三角函数式时：遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；遇高次时，要先降幂；熟记以下常用结论：sin cos 2sin4；3sin cos 2sin6；sin 3cos 2sin3.1.(2016 年山
3、东)函数 f(x)(3sin xcos x)(3cos xsin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2B_.3.(2017 年新课标)函数 f(x)2cos x sin x 的最大值为_.4.(2016 年浙江)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则 A_，b_.2.(2014 年山东)函数 y 32 sin 2xcos2x 的最小正周期为152考点 1 三角变换的综合应用例 1：(1)(2018 年新课标)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为 3B.f(x)的最小正周期为，最大值为 4C.f(x)的最小正周期为 2，
4、最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析：函数 f(x)2cos2xsin2x21cos 2x1cos 2x2232cos 2x52，最小正周期为，最大值为 4.故选 B.答案：B(2)化简 sin26 sin26 sin2 的结果是_.解析：方法一，原式1cos2321cos232sin2112cos23 cos23 sin21cos 2cos3sin21cos 221cos 2212.方法二，令 0，则原式141412.答案：12【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和
5、、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【互动探究】A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个1.已知函数 f(x)cos2x3 cos 2x，其中 xR，给出四个结论：函数 f(x)是最小正周期为 的奇函数；函数 f(x)的图象的一条对称轴是 x23；函数 f(x)的图象的一个对称中心是512，0；函数 f(x)的递增区间为k6，k23(kZ).则正确结论的个数为()解析：函数 f(x)cos2x3 cos 2xcos 2xcos3sin 2xsin3cos 2x12cos 2x 32 sin 2xsin2x6.非奇非偶函数.故错误；f 23 sin223 6 sin96
6、 1.所以 x23 是一条对称轴.故正确；f 512 sin25126 sin 0.答案：B所以512，0 是它的一个对称中心.故正确；函数 f(x)的递增区间为 2k22x62k32，2k32x2k86，k6xk23，即k6，k23(kZ).故正确.故选 B.考点 2 辅助角公式的应用考向 1 求值例 2：(2017 年湖南浏阳一中期中)已知 sin6 cos 33，则 cos6()A.2 23B.2 23C.13D.13故选 C.答案：C解析：sin6 cos 33，12cos 32 sin cos 33，即 32 sin 32cos 33.12sin 32 cos 13，即sin3 13
7、.cos6 cos23 sin3 13.【互动探究】2.(2017 年湖北新联考四模)sin 101 3tan 10()A.14B.12C.32D.1A解析：原式sin 101 3sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10 3sin 1012sin 20212cos 10 32 sin 1012sin 202sin301014.故选 A.考向 2 求最值例 3：(2015 年北京)已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23 上的最小值.解：(1)f(x)sin x2 3sin2x2sin x 3cos x
8、32sinx3 3，f(x)的最小正周期为 2.(2)0 x23，3x3.当 x3，即 x23 时，f(x)取得最小值.f(x)在区间0，23 上的最小值为 f23 3.【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时要注意重要条件“0，23”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即 sin2x12cos 2x 12，asin xbcos x a2b2sin(x)，函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期是 2.【互动探究】3.函数 f(x)2 3sin x
9、cos x2sin2x 的值域为_.3,1显然f(x)max1，f(x)min3.故 f(x)的值域为3,1.解析：f(x)3sin 2xcos 2x1232 sin 2x12cos 2x 12sin2x6 1.4.函数 f(x)4sin xsinx3 1 的值域为_.2,2解析：f(x)4sin xsinx3 14sin x12sin x 32 cos x 12sin2x12 3sin xcos x 3sin 2xcos 2x2sin2x6，f(x)max2，f(x)min2，即 f(x)的值域为2,2.5.设当x时，函数 f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.解析：f(x
10、)sin x2cos x 515sin x 25cos x，设 15cos，25sin，则 f(x)5(sin xcos cos xsin)5sin(x).xR，xR.f(x)max 5.当 x 时，f(x)取得最大值，f()sin 2cos 5.又 sin2cos21，sin 15，cos 25，即 cos 2 55.答案：2 55难点突破三角不等式中的恒成立问题例题：已知函数 f(x)2sin24x 3cos 2x，x4，2.(1)求 f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)m|f(x)max2，且mf(x)min2.1m4，即 m 的取值范围是(1,4).【规律方法】不等式恒成
11、立问题，要想办法转化为求最大值、最小值问题.而求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象.(2)|f(x)m|2f(x)2mf(x)2，x4，2，【互动探究】6.已知不等式 2sin x4cos x4 6cos2x4 62 m0 对于 x3，3 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.(，2)B.，22C.22，2D.2，)答案：B解析：因为 2sinx4cosx4 6cos2x4 62 22 sinx2 61cosx22 62 2sinx23，所以原命题等价于 m 2sinx23min 对于 x3，3 恒成立.因为6x232，所以 2sinx23 22，2.所以 m 22.故选 B.
