1、第4讲 函数 yAsin(x)的图象1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相Ax1.yAsin(x)的有关概念T2f1T2xx0_2yAsin(x)0A0A02.五点法画 yAsin(x)用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表：0232 22323.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤A1.(2017 年福建四地六校
2、联考)函数 y3sin12x4 的周期、振幅、初相分别是()A.4，3，4B.4，3，4 C.4，3，54D.2，3，54 C2.(2016 年四川)为了得到函数 ysinx3 的图象，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向上平行移动3个单位长度D.向下平行移动3个单位长度A3.(2015 年山东)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需要将函数 ysin 4x 的图象()A.向左平移 12个单位长度B.向右平移 12个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度B)如图 3-4-1，则，的值分别是(图 3-4-
3、14.已知函数 f(x)2sin(x)0，20，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象.若 yg(x)图象的一个对称中心为512，0，求 的最小值.解：(1)数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050根据表中已知数据，解得 A5，2，6.故函数解析式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6，得 g(x)5sin2x26.因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ，令 2x26k，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，令k2 12512(kZ)，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，
4、当 k1 时，取得最小值6.【规律方法】(1)函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法.(2)用“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的图求出对应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标.象，关键是点的选取，通常令 x 分别等于 0，2，32，2，【互动探究】1.(2017 年甘肃天水一中)函数 f(x)Asin(x)的图象如图 3-4-2，为了得到 g(x)Acos x 的图象，可以将 f(x)的图象()图 3-4-2A.向右平移 12个单位长度B.向右平移512个单位长度C.向左平移 12个单位长度D.向左平移512个单位长度答案：B解析：由已知
5、，可得 A1，T2 2f(x)sin(2x)322k(kZ)2k3(kZ)f(x)sin2x3，g(x)cos 2xsin2x32 将 f(x)的图象向左平移3232 712 个单位长度将 f(x)的图象向右平移512个单位长度.故选 B.考向 2 函数 yAsin(x)的图象的变换例 2：(1)(2017 年新课标)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个
6、单位长度，得到曲线 C2C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2答案：D解析：ysin2x23 cos22x23cos2x6 cos2x6，把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线 ycos 2x，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 ycos2x 12 cos2x6.故选 D.(2)(2016 年新课标)若将函数 y2sin2x6 的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()
7、A.y2sin2x4B.y2sin2x3C.y2sin2x4D.y2sin2x3 答案：D解析：函数y2sin2x6 的周期为，将函数y2sin2x6 的图象向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y2sin2x4 62sin2x3.故选 D.(3)(2013 年新课标)函数 ycos(2x)()的图象向右平移2个单位长度后，与函数 ysin2x3 的图象重合，则 _.解析：ycos(2x)的图象向右平移2个单位长度得到 ycos2x2 的图象，整理，得 ycos(2x).其图象与ysin2x3 的图象重合，322k(kZ).322k(kZ)，即 56 2k(kZ).又，56.答案：56(4
8、)(2018 年天津)将函数 ysin2x5 的图象向右平移 10个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间34，54 上单调递增B.在区间34，上单调递减C.在区间54，32 上单调递增D.在区间32，2 上单调递减解析：由函数 ysin2x5 图象平移变换的性质，可知将 ysin2x5 的图象向右平移 10个单位长度之后的解析式为 ysin2x 10 5 sin 2x.则函数的单调递增区间满足：2k22x2k2(kZ)，即 k4xk4(kZ).令 k1 可得答案：A函数的一个单调递增区间为34，54，选项 A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：2k22x2k32(kZ)，即 k4x
9、k34(kZ).令k1可得函数的一个单调递减区间为54，74，选项 C，D 错误.故选 A.(5)将函数 ycos xsin x 的图象先向右平移(0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍，得到 ycos2xsin2x 的图象，则，a 的可能取值为()A.2，a2 B.38，a2C.38，a12D.2，a12 解析：由题意结合辅助角公式有：ycos xsin x答案：D2cosx4，将函数 ycos xsin x 的图象先向右平移(0)个单位长度，所得函数的解析式为：y 2cosx4，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍，所得函数的解析式为：y 2cos1a
10、x4.而 ycos 2xsin 2x2cos2x4，据此可得：1a2，44.解得a12，2.故选 D.【规律方法】图象变换的两种方法的区别：由 ysin x 的 图象，利用图象变换作函数 yAsin(x)B(A0，0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不 同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是 个单位长度.考点 2 函数 yAsin(x)图象与性质的应用考向 1 求函数 yAsin(x)的解析式例 3：(1)(2017 年天津)设函数 f(x)2sin(x)，xR，其
11、中 0，|2，01.23，2k1 12.由|0，0)的解析式的步骤：(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为x0；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为x；“第五点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为x2.“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第四点”(即图象的“谷点
12、”)为 x32；【互动探究】2.已知周期为 的函数 f(x)sin(x)0，|2 关于直线 x 12对称，将 yf(x)的图象向左平移4个单位长度得到函数 yg(x)的图象，则下列结论正确的是()A.g(x)为偶函数.B.g(x)的图象关于点6，0 对称C.g(x)在区间4，12 上单调递增D.g(x)为奇函数.答案：C解析：由题意，可知 2，f(x)sin(2x)，关于 x 12对称，则 2 12 2k，kZ.|2，得 3，即 f(x)sin 2x3.其 图 象 向 左 平 移 4 个 单 位 长 度，得 g(x)sin2x4 3 sin2x6.从而可知 A、D 错误.又g6 0，B 错误，
13、由4x 12，得32x63，g(x)单调递增，C 正确.故选 C.考向 2 函数 yAsin(x)的图象与性质(1)求实验室这一天上午 8：00 的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.例 4：(2014 年湖北)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12t sin12t，t0,24).解：(1)f(8)10 3cos 128 sin 12810 3cos 23 sin 23 10 312 3210.故实验室这一天上午 8：00 的温度为 10.(2)因为 f(t)10232 cos12t 12sin12t 102sin12t3，又 0t24，于是 f(t)在0,24)上取得最大值 12，最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4.所以3 12t30，0,0)如图343，则该地该天 8 时的温度大约是()图 3-4-3A.3.5 B.4.5 C.4.8 D.5.1 答案：B解析：由图，知 A5，122146，得 8，b1.因为 0，所以81452，得 34.所以 y5sin8x34 1.当 x8 时，y5 22 14.5.故选 B.