1、阶段重点强化练(一)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；A B C D【解析】选C.中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0.2已知向量a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 B C D2【解析】选D.因为a(ab)，所以a(ab)|a|2ab0，所以|a|2ab，所以14(223)7，解得2.3若a(2，2，0)，b(1，3，z)，a，b，则z等于()A
2、 B C D【解析】选C.cos a，b，可得z.4如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA2CB，CC13CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A B C D【解析】选A.CA2CB，CC13CB，所以设CB1，根据题意得，B(0，0，1)，C1(0，3，0)，A(2，0，0)，B1(0，3，1).(0，3，1)，(2，3，1)，所以cos.5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A1 B C2 D2【解析】选B.如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，可得，AC平面BDD1B1.所以点C到平面
3、BDD1B1的距离为CO，COAC.6将图中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直【解析】选C.在题图中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如题图，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选
4、错的得0分7已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，则下列说法中，正确的是()Av1v2l1l2 Bv1v2l1l2Cn1n2 Dn1n2【解析】选ABCD.因为v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，所以v1v2l1l2，v1v2l1l2；因为n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，所以n1n2，n1n2，故全部正确8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则点P到各顶点的距离可能为()A.B3CD2【解析】选ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长
5、为3，则点A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以(3，3，3).设点P(x，y，z)，因为(1，1，1)，所以(3，3，0)(1，1，1)(2，2，1).所以P(2，2，1)，所以PAPCPB1，PDPA1PC13，PB，PD12.故点P到各顶点的距离的不同取值有，3，2.三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请把正确的答案填在题中的横线上9在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)【解析】因为在四面体OABC中，a，b，
6、c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以()a()abc.答案：abc10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为_【解析】以D为坐标原点，分别以，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1，1，)，F，所以，所以E，F两点间的距离为|.答案：11已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值是_【解析】因为a(1，0，2)，b(6，21，2)，ab，令atb(tR)，则(1，0，2)t(6，21，2)(6t，(21)t，2t)，即解得或答案：2，或3，
7、12已知a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_【解析】由题意可知ab0且a与b不共线，则ab3(1)2(x1)312x42.若a与b共线，则，得x，因为a与b不共线，则x，因此，实数x取值范围是.答案：13如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_【解析】长方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1D1，则BD1B1为所求，RtBD1B1中，tan BD1B1，所以BD1B130，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为30.答案：3014在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D
8、在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为_，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为_(本题第一空2分，第二空3分)【解析】取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0，0，1)，C，.设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，所以令x2，z3，y0，所以n(2，0，3)，又为平面ABC的法向量，(0，0，1)，所以cos n.所以平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为.因为平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，所以BE平面AA1C1C，所以为平面AA1C1C的一个法向量，又，所以cos ，设A
9、D与平面AA1C1C所成的角为，则sin |cos ，|.答案：四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15(10分)如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：【解析】(1)E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)因为A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，所以(x，a，a)，C1E(a，xa，a).所以axa(xa)a20，所以(3)因为A1，E，F，C1四点共面，所以，共面选与
10、为一组基向量，则存在唯一实数对1，2，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)，所以，解得.所以16(10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCAA12，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ平面A1BC；(2)设，试问：是否存在实数，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由【解析】(1)连AB1，AC1，因为点Q为线段A1B的中点，所以A，Q，B1三点共线因为点P，Q分别为B1C1和A1B的中点，所以PQAC1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A
11、CBC，所以BC平面ACC1A1，所以BCAC1，又ACAA1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以AC1A1C，因为A1C，BC平面A1CB，所以AC1平面A1BC，而PQAC1，所以PQ平面A1BC.(2)以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接A1P，B1Q，设Q(x，y，z)，因为，所以(x，y2，z)(2，2，2)，所以，所以Q(2，22，2).因为点Q在线段A1B上运动，所以平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量，设平面A1PB的法向量为n1(x，y，z)，由得，令y2得n1(1，2，1)，设平面B1PQ的法向量为n2(x，y，z)，由得
12、令z得n2(1，0，)，由题意得|cos n1，n2|，所以92920，解得或.所以当或时，平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为.17(10分)如图1，在等腰RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG3CG.将ADE沿DE折起，使点A到A1的位置(如图2所示)，且A1FCD.(1)证明：BE平面A1FG；(2)求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值【解析】(1)取BC的中点M，连接DM，因为BG3CG，所以G为CM的中点，又F为CD的中点，所以FGDM，由DEBM，DEBM，所以DMBE为平行四边形，所以BEDM，所以BEFG，又FG平面A1FG，BE平面A1FG，所以BE平面A1FG；(2)根据题意，以F为原点，直线FC为x轴，过F平行于BC的直线为y轴，直线FA1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设AC4，则F(0，0，0)，A1(0，0，)，B(1，4，0)，E(1，2，0)，G(1，1，0)，FA1(0，0，)，(1，1，0)，A1E(1，2，)，(2，2，0)，设平面A1FG的法向量为n(x，y，z)，由得故可取n(1，1，0)，设平面A1BE的法向量m(a，b，c)，由，得故可取m(1，1，)，所以cos m，n，故平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为.
